Курсовая работа: Элементы общей топологии

2. (G₁ Ç М) Ç (G₂ Ç М) = Æ.

3. G₁ Ç М ¹Æ, G₂ Ç М ¹Æ.

Теорема 2. В топологическом пространстве (Х, Ф) замыкание связного множества – связно.

Теорема 3. Если А и В два открытых множества в (Х, Ф), причем

А Ç В = Æ

и непустое связное множество

HÌAÈB,

то HÌA, или HÌ В.

Теорема 4. Пусть {} – совокупность связных подмножеств в пространстве (Х, Ф), имеющих общую точку. Тогда множество H = также будет связным в (Х, Ф).

Теорема 5. Компоненты двух различных точек либо не пересекаются, либо совпадают.

Теперь мы можем говорить просто о компонентах пространства, на которые они распадаются.

Теорема 6 . Компонента топологического пространства (Х, Ф) является замкнутым множеством.

Доказательство. Пусть Н – компонента топологического пространства (Х, Ф), и – некоторая ее точка.

Очевидно

Н Ì,

В силу теоремы 2 множество – связно и так как Î, то

Ì Н.

Поэтому

= Н.

Замечание . Пусть топологическое пространство (Х, Ф) – несвязное, то есть существуют два непустых открытых множества U и V таких, что

UÈV = Х

и

UÇV = Æ.

Если при этом различные точки х и у принадлежат одной компоненте, то {x, y} ÌUили {x, y} ÌV.

Это утверждение вытекает из теоремы 3.

Определение 3 . Областью называется непустое связное открытое множество топологического пространства.

Замкнутой областью называется такое замкнутое множество, которое является замыканием области.

Пример. Пусть Х – множество действительных чисел с топологией . Доказать, что любое подмножество связно.

Доказательство. Рассмотрим произвольное подмножество . Пусть – непустое подмножество , открытое и замкнутое в . Тогда