Курсовая работа: Элементы общей топологии
Теорема 2. Если топологическое пространство (Х, Ф) компактно, а множество FÌX – замкнуто, то F – компактно.
Доказательство. Пусть U – произвольное открытое покрытие F. Добавим к U открытое множество (Х \ F).
Тогда система {U, (X \ F)} – открытое покрытие Х.
Так как Х – компактно, то из полученного выше покрытия выбираем конечное покрытие Х.
Обозначим его U1 . Если U1 содержит X \ F, то удалив из U1 множество X \ F, получим покрытие, причём конечное, для F. Если U1 не содержит X \ F, то U1 и является конечным покрытием F.
В силу теоремы 1 множество F – компактно.
Теорема доказана.
Теорема 3. В хаусдорфовом пространстве (Х, Ф) у любых двух компактных непересекающихся множеств имеются непересекающиеся окрестности.
В общем случае мы рассматриваем для каждой точки х Î В непересекающиеся окрестности множества А – Ux и точки х – Vx и выделяем из полученного покрытия множества В окрестностями Vx конечное покрытие
.
Множества
и 
будут непересекающимися окрестностями множеств А и В.
Теорема 4. Компактное подмножество М хаусдорфова пространства (Х, Ф) замкнуто.
Теорема 5. Подмножество в пространстве R3 компактно в том и только том случае, если оно ограничено и замкнуто.
Пример . Доказать, что в евклидовом пространстве с естественной топологией (Е3 , Фr ) множество Н состоящее из конечного числа точек компактно.
Доказательство. Пусть Н = {х1 , х2 , …, хn } и {Ga }a Î А – произвольное открытое покрытие множества Н. По определению покрытия каждая точка хi принадлежит хотя бы одному из множеств Ga . Обозначим G1 одно из множеств множества {Ga }a Î А содержащее х1 . Затем обозначим G2 одно из множеств множества {Ga }a Î А содержащее х2 и так далее, для точки хn обозначим Gn одно из множеств множества {Ga }a Î А содержащее хn .
Получили конечный набор открытых множеств G1 , G2 , …, Gn являющийся покрытием множества Н. Согласно теореме 1 множество Н будет компактным множеством.
1.2.5 Связность топологических пространств
Определение 1. Топологическое пространство (Х, Ф) называется несвязным, если существуют два непустых открытых множества U и V таких, что UÈV = Х и UÇV = Æ.
Другими словами топологическое пространство (Х, Ф) может быть разбито на два непустых открытых множества, не имеющих между собой общих точек.
Топологическое пространство (Х, Ф) называется связным, если не существует такого разбиения.
Пример . Х= (
, b), (X, Ф) – связное топологическое пространство, если Ф = {Æ, Х, } и, если Ф = {Æ, Х, , b} – то это пример несвязного топологического пространства.
Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества Uи V, UÇV= Æ, то U = Cx V и V = Cx U.
Поэтому U и V – замкнутые множества.
Отсюда получаем необходимые и достаточные условия.
Теорема 1 . Топологическое пространство (X, Ф) будет связным тогда и только тогда, когда в нем одновременно открытым и замкнутым множеством являются лишь само пространство или пустое множество.
Определение 2. Множество М в топологическом пространстве называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии, то есть связно определяемое им подпространство.
Другими словами, множество М в топологическом пространстве Х называется связным, если нельзя найти двух открытых в Х множеств G1 и G2 таких, что