Курсовая работа: Элементы общей топологии

Если = ¥, то U(r) = X.

Следовательно, аксиома 2 выполняется.

Пересечением двух множеств U(r₁ ) и U(r₂ ) будет множество U(r), где r = , то есть аксиома 3 также выполняется.

Выделенное нами семейство открытых множеств является топологией в R³ , которую иногда называют концентрической.

Определение 2. Пусть в множестве Х введены две топологии Ф₁ и Ф₂ . Говорят, что Ф₁ сильнее Ф₂ (или Ф₂ слабее Ф₁₎ , если Ф₂ Ì Ф₁ , то есть любое множество из Ф₂ принадлежит Ф₁ .

Очевидно, самой сильной топологией является дискретная топология, а самой слабой – тривиальная.

А вообще – две топологии на одном и том же множестве могут быть несравнимыми.

Пример.

Х = ,

Ф₁ = {Æ, Х, },

Ф₂ ={Æ, Х, }.

Топологии Ф₁ и Ф₂ несравнимы.

Теорема 1. Пересечение произвольного множества топологий, заданных на Х, является топологией в Х. Эта топология Ф слабее любой из данных топологий Ф.

Доказательство. Пусть .

Так как для любого a

{Х,Æ}Ì Ф,

то

{X,Æ}Ì Ф.

Далее, из того, что каждое Ф замкнуто относительно взятия любых объединений и конечных пересечений, следует, что этим свойством обладает и множество .

Теорема 2. Пусть А – произвольная система подмножеств множества Х. Тогда существует минимальная топология в Х, содержащая А.

Действительно, всегда существуют топологии, содержащие А, например, дискретная. Пересечение всех топологий, содержащих А и есть искомая топология. Эта минимальная топология называется топологией, порождённой системой А.

1.2 Свойства топологических пространств

1.2.1 Понятие подпространства

Если У подмножество Х, а (Х, Ф) – топологическое пространство, то на У можно рассматривать топологию

y = {Ç У |GÎ Ф }.

Действительно, обозначим:

S = Ç У, y = {S}.

1. ÞÆ, У ÎY.

2. S = (GÇ У) = (G)Ç У Îy.