Курсовая работа: Элементы общей топологии

Так как G₁ ÇG₂ = GÎF, то F – замкнуто.

Теорема 2. Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством; объединение любого конечного числа замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Однако, если в R с обычной топологией рассмотреть множества

G_n = ,

то

G_n = [–1, 1],

то есть мы указали пример, когда пересечение бесконечного множества открытых множеств оказалось замкнутым.

Пусть (Х, Ф) – топологическое пространство. Открытое множество U называется окрестностью точки х если х ÎU (х ÎX и UÎ Ф).

Определение 2. Точка называется внутренней точкой некоторого множества H (HÌX), если существует такая окрестность U точки , что UÌH. Множество всех внутренних точек множества H обозначается через intH и называется внутренней областью H или внутренностью H.

Определение 3. Точка называется внешней точкой множества H, если существует такая окрестность V точки , в которой нет точек из H, т.е. VÌ С_х H=Х \ H. Множество всех внешних точек множества H обозначается через extH и называется внешней областью H.

Определение 4 . Точка с называется граничной для множеств H, если в любой окрестности точки с имеются как точки множества H, так и точки не принадлежащие H.

Множество всех граничных точек множества H обозначается через Hи называется границей H.

Очевидно:

int H È ext H ÈH = X

int H Ç ext H = ext H ÇH = int ÇH = Æ

int H = ext C_x H, ext H = int C_x H

H = C_x H

Определение 5. Точка называется точкой прикосновения множества H, если каждая окрестность точки имеет с H хотя бы одну общую точку.

Множество всех точек прикосновения множества H называется замыканием множества H и обозначается . Ясно, что = intHÈH и является замкнутым множеством.

Определение 6. Точка ÎH называется изолированной точкой множества H, если существует окрестность U точки , такая, что

UÇH = {}

Определение 7. Если Î и не является изолированной для H, то она называется предельной точкой множества H.

Ясно, что в каждой окрестности предельной точки ÎH существуют точки множества H, отличные от .

Поскольку замыкание распадается на множество изолированных и предельных точек, а первое всегда содержится в H, то приходим к следующему утверждению:

Теорема 3. Множество H замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки, то есть, если

H =

Действительно, если H – замкнуто, то CH = X \ H открыто. Поэтому CH = extH.

Отсюда получаем

H = intHÈ ∂ H = .