Курсовая работа: Элементы общей топологии

G^* = {Æ, всевозможные интервалы}– база.

3. (Х. Ф) дискретная топология.

G^* = {Æ} È{{х}| х Î Х}– база.

Аксиома отделимости

Наличие хороших свойств пространства зависит от возможности отделить одну точку от другой с помощью окрестностей этих точек.

Поэтому, обычно, рассматривают такие топологические пространства, которые удовлетворяют дополнительным условиям, например, так называемым аксиомам отделимости.

Аксиома Хаусдорфа

Для любых двух различных точек пространства существуют их непересекающиеся окрестности.

Топологические пространства, в которых выполняется аксиома Хаусдорфа, называют хаусдорфовыми пространствами.

Нетрудно доказать, что любое подпространство хаусдорфова пространства, содержащее не менее двух различных точек, также является хаусдорфовым пространством.

В любом топологическом пространстве можно рассмотреть сходящуюся последовательность точек.

Однако, понятие предела удобно лишь там, где сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Оказывается, аксиома 2 является необходимым и достаточным условием единственности предела сходящейся последовательности.

Пусть в топологическом пространстве (Х, Ф) дана последовательность точек х₁ , х₂ , …, х_n , … точка х₀ называется пределом этой последовательности, если для любой окрестности U_{x 0} точки х₀ найдётся такой номер n₀ , что для всех n>n₀ точки х_n ÎU_{x 0} .

При этом последовательность точек {х_n } называется сходящейся к точке х₀ .

Теорема 4. В хаусдорфовом пространстве (Х, Ф) сходящаяся последовательность точек {х_n } имеет единственный предел.

Пример 1. В силу теоремы 2 § 1 любое топологическое пространство, топология которого порождена метрикой, является хаусдорфовым пространством.

Пример 2. Двуточечное топологическое пространство

Х = , Ф = {Æ, Х, }

не является хаусдорфовым пространством.

Действительно, рассмотрим точки и . Для них нет непересекающихся окрестностей, так как окрестностью точки является сама точка или все Х, а окрестностью точки будет только Х.

Очевидно, Ç Х = и предложение доказано.

1.2.4 Компактность топологических пространств

Определение 1. Пусть (Х, Ф) – топологическое пространство и множество Н Ì Х. Семейство U = {А_a } открытых множеств А_a называется открытым покрытием множества Н, если

Н Ì.

Подпокрытие покрытия U – это такое подсемейство семейства U, которое само является покрытием для Н.

Определение 2. Топологическое пространство Х называется компактным или компактом, если из любого его открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение 3 . Множество М в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно является компактным топологическим пространством относительно индуцированной топологии (как подпространство).

Пользоваться этим определением компактности множества не очень удобно, так как оно требует построения в множестве с индуцированной топологией. Следующая теорема дает нам возможность обходиться без этих дополнительных построений.