Курсовая работа: Элементы тензороного исчисления

Поскольку немой индекс может быть обозначен любой буквой, то эту систему уравнений можно записать в виде

Если это соотношение справедливо для всех значений переменных , то должно выполняться равенство

(2.7)

Это преобразование, очевидно, отлично от преобразования, задаваемого формулой (2.6). Объект первого порядка, составляющие которого преобразуются по этому закону, называется ковариантным вектором.

Таким образом, у нас есть два типа тензоров первого порядка, и мы условимся различать их с помощью положения индекса. Если - тензор контравариантен, мы используем верхний индекс, если же он ковариантен, то нижний. Другими словами, верхний индекс обозначает контравариантностъ, а нижний индекс — ковариантность.

Объекты, которые зависят от двух индексов, называются объектами второго порядка. Из того, что индексы бывают верхние и нижние, следует, что объекты второго порядка могут быть трех типов:

(2.8)

Легко видеть, что в этом случае каждый объект имеет 9 составляющих.

Аналогично можно получить объекты третьего порядка, которые будут зависеть от трех индексов и могут принадлежать к любому из четырех типов:

(2.9)

Здесь каждый объект содержит или 27 составляющих. Мы можем продолжать это построение и получить объекты любого порядка.

Для законченности этой последовательности мы назовем объект а, не имеющий индексов, объектом нулевого порядка.Если этот объект имеет одно и то же значение и в новых переменных и в старых переменных , то он называется скаляром, или инвариантом. Следовательно, если а есть инвариант, то

, (2.10)

где есть значение данного объекта в новых переменных.

Мы взяли число измерений равным трем лишь для определенности. Все, что было сказано выше, применимо также к любому числу измерений, если условиться, что число значений, пробегаемых индексом, равно числу измерений. Например, если число измерений равно четырем, следует считать, что индексы могут пробегать значения от 1 до 4, а не от 1 до 3, как предполагалось выше.

§ 3. Общее определение тензоров

Векторы, ковекторы, линейные операторы, и билинейные формы - примеры тензоров. Они являются геометрическими объектами, которые представляются в числовой форме, после того, как выбран базис в пространстве. Это числовое представление является своим для каждого из них: векторы и ковекторы представляются одномерными массивами, линейные операторы и квадратичные формы - двумерными массивами. Кроме количества индексов, имеет значение также и их расположение. Координаты вектора нумеруются одним верхним индексом, который называется контравариантным индексом. Координаты ковектора нумеруются одним нижним индексом, который называется ковариантным индексом. В матрице билинейной формы мы используем два нижних индекса; поэтому билинейные формы называют дважды-ковариантными тензорами. Линейные операторы - тензоры смешанного типа; их элементы нумеруются одним нижним и одним верхним индексами. Число индексов и их положения определяют правила преобразования, т.е. то как компоненты каждого конкретного тензора ведут себя при смене базиса. В общем случае, любой тензор представляет собой многомерный массив с определенным числом верхних и нижних индексов. Давайте обозначать число этих индексов через r и s . Тогда получится тензор типа (r ,s ); или иногда используется термин валентность. Тензор типа (r ,s ), или тензор валентности (r ,s ) - это r-раз контравариантный и s-раз ковариантный тензор.

Все это была терминология; теперь давайте перейдем к точному определению.

Оно базируется на следующих общих формулах преобразования:

(3.1)

(3.2)

Определение 1 . Геометрический объект X , который в каждом базисе представляется (r + s )-мерным массивом вещественных чисел, удовлетворяющих правилам преобразования (3.1) и (3.2) при смене базиса, называется тензором типа (r ,s ), или валентности (r ,s ).

Индексы и - свободные индексы. В правой стороне равенства (3.1) они распределены в S -ках и T -шках, каждый имеет только одно вхождение и сохраняет свою позицию при переходе из левой в правую часть равенства, т.е. верхние индексы остаются верхними, а нижние индексы остаются нижними в правой части равенства (3.1).

Остальные индексы и - это индексы суммирования, они входят в правую часть (3.1) парами: один раз в качестве верхнего индекса и один раз в качестве нижнего индекса, один раз в S -матрице либо в T -матрице и второй раз среди индексов в компонентах массива .

При выражении через каждый верхний индекс обслуживается ровно один раз матрицей прямого перехода S , порождая при этом ровно одно суммирование в формуле (3.1):

(3.3)

Подобным же образом, каждый нижний индекс обслуживается матрицей обратного перехода T и тоже порождает одно суммирование в формуле (1):

(3.4)