Курсовая работа: Элементы тензороного исчисления

Квадратичная форма, соответствующая (4.6), очень проста: f ( x ) = g ( x , x ) = . Обратная матрица для (4.5) обозначается тем же самым символом g , но она имеет два верхних индекса: . Это определяет тензор типа (2,0). Такой тензор называется дуальным метрическим тензором.

§5. Действия с тензорами

1) Линейные операции.

Так как -пространство тензоров ранга р - является линейным пространством, то в нем определены действия сложения и умножения на число:

(5.1)

Если тензоры представлены своими компонентами в одном и том же базисе, то линейной комбинации тензоров соответствует та же линейная комбинация их компонент.

2) Тензорное умножение.

В отличие от линейных операций, это действие совершается с произвольными тензорами, не обязательно имеющими одинаковый ранг.

Если X - тензор ранга р, а Y - тензор ранга q , то результатом будет тензор ранга p + q , обозначаемый X Y :

(5.2)

Тензорное произведение произвольного числа тензоров обладает свойством ассоциативности.

Для того чтобы перейти к другим действиям с тензорами, нам понадобится следующее определение.

Определение . Тензоры, представимые в виде abc … h , называются разложимыми.

Не каждый тензор является разложимым, но любой тензор может быть представлен в виде линейной комбинации разложимых.

3) Перестановка (i,j).

Перестановкой T(i,j) называется линейная функция, действующая из в (т.е. не меняющая ранг тензора) и состоящая для разложимых тензоров во взаимной перестановке векторов, стоящих на i -м и j -м местах:

(5.3)

Например,

На произвольные тензоры операция перестановки распространяется по линейности, например:

Для тензоров второго ранга возможна только одна перестановка - Т(1,2), обозначаемая просто буквой Т :

Для произвольного тензора второго ранга Xимеем:

Из полученного соотношения для видно, что матрица компонент тензора в простом базисе является транспонированной матрицей компонент тензора X в том же базисе. Именно поэтому операция перестановки тензоров второго ранга называется еще транспонированием.

4) Свертывание (i,j).

Свертыванием называется линейная функция, действующая из в (понижающая ранг тензора на 2) и состоящая для разложимых тензоров в скалярном перемножении вектора, занимающего i-е место, на вектор, занимающий j -е место:

(5.4)

Например, .