Курсовая работа: Элементы тензороного исчисления

§ 4. Скалярное произведение и метрический тензор

Ковекторы, линейные операторы и билинейные формы, те, что мы рассматривали выше, все это были искусственно построенные тензоры. Однако, есть некоторое количество тензоров естественного происхождения. Давайте вспомним, что мы живем в метрическом мире. Мы можем измерять расстояния между точками (следовательно, мы можем измерять длины векторов) и измерять углы между двумя направлениями в пространстве. Поэтому для любых двух векторов x и y мы можем определить их скалярное произведение:

( x , y ) = | x || y | cos (φ), (4.1)

где φ - угол между векторами x и y . Это естественное скалярное произведение, порожденное нашей способностью измерять длины или, вернее сказать, тем, что понятие длины дано нам в ощущениях в том мире, где мы живем.

Вспомним следующие свойства естественного скалярного произведения (4.1):

(1) ( x + y , z ) = ( x , z )+( y , z );

(2) ( αx , y ) = α ( x , y );

(3) (x, y+z) = (x, y)+(x, z);

(4) (x, αy) = α(x, y);

(5) ( x , y ) = ( y , x );

(6) ( x , x )≥0 и ( x , x ) = 0 влечетx = 0.

Обратите внимание, что первые четыре свойства скалярного произведения

(4.1) очень похожи на свойства квадратичной формы. Это не случайное совпадение.

Давайте рассмотрим два произвольных вектора x и y вместе с их разложениями в некотором базисе . Это означает, что мы имеем следующие выражения для них:

(4.2)

Подставим (4.2) в формулу (4.1) и, используя четыре свойства(1)–(4) из шести упомянутых в упражнении, выведем следующую формулу для скалярного произведения векторов x и y :

(4.3)

Обозначим и запишите (4.3) в виде

(4.4)

Рассмотрим другой базис , обозначим и посредством формул преобразования

и

докажем, что матрицы и являются компонентами геометрического объекта, подчиняющимися преобразованиям

и

при замене базиса. Таким образом мы докажем, что эта матрица Грама

(4.5)

задает тензор типа (0,2). Это очень важный тензор; его называют метрическим тензором. Оно описывает не только скалярное произведения в форме (4.4), но и всю геометрию нашего пространства. Свидетельства этого факта приводятся ниже.

Матрица (4.5) симметрична из-за свойства (5). Теперь, сравнивая формулу (4.4) с формулой

и помня о тензорной природе матрицы (4.5), мы приходим к выводу, что скалярное произведение – это симметричная билинейная форма: