Курсовая работа: Элементы тензороного исчисления

Для тензоров второго ранга возможно только одно свертывание - , обозначаемое просто:

Скаляр называется следом тензора второго ранга X .

Если тензор записан в смешанных компонентах, то

(п - размерность пространства Э_п ). Таким образом, след тензора второго ранга совпадает со следом матрицы его смешанных компонент.

Для матриц ко- или контравариантных компонент предыдущее утверждение, вообще говоря, не верно:

5) Простое умножение.

Простым умножением тензора X ранга р на тензор Y ранга q называется операция, состоящая в свертывании (р,р + 1 ) тензорного произведения X Y и обозначаемая :

(5.5)

Другими словами, простое умножение сводится к скалярному перемножению последних векторов в разложении тензора X на первые векторы в разложении тензора Y . Для разложимых тензоров:

Для произвольных тензоров:

В результате простого умножения тензора ранга р на тензор ранга qполучается тензор ранга р +q -2 . В частности, результатом простого умножения двух тензоров второго ранга будет тензор второго ранга.

6) Косое умножение.

Это действие имеет смысл только для тензоров, построенных на основе трехмерного векторного пространства . Как уже упоминалось, в определено векторное произведение векторов

Пусть Операция косого умножения, обозначаемая , приводит к тензору ранга р+ q -1 и состоит в векторном перемножении последних векторов в разложении тензора X на первые векторы в разложении тензора Y :

(5.6)

Очевидно, что в случае двух векторов операция косого умножения совпадает с векторным умножением.

Для тензоров второго ранга с использованием векторного умножения строится еще одна операция - векторный инвариант. Это унарная (т.е. имеющая один аргумент) операция, применительно к тензору T обозначаемая как Т_х , определяется для разложимых тензоров следующим образом

,

и распространяется на произвольные тензоры по линейности:

7) Полное умножение.

Пусть , причем р> q .

Операцию полного умножения, обозначаемую , определим сначала для разложимых тензоров следующим образом: при полном умножении (разложимого) тензора X на тензор Y производится скалярное умножение последнего вектора в разложении тензора X на последний вектор в разложении тензора Y , затем скалярное умножение предпоследних векторов в разложениях этих тензоров и т.д., пока не будут исчерпаны все векторы в разложении тензора Y :