Курсовая работа: Факторіальні кільця та їх застосування

Для кожного простого елемента кільця R теорема справедлива: для простого елемента добуток, про який говориться в теоремі, складається з одного множника. Припустимо, що в кільці R є відмінний від нуля елемент а, який не можна розкласти в добуток простих множників. Елемент а не простий і, отже, а = a₁ a₂ , де a₁ і a₂ – нетривіальні дільники елемента а.

Принаймні один з елементів a₁ і a₂ не можна розкласти в добуток простих множників, бо в противному разі і елемент а розкладався б у добуток простих множників. Не втрачаючи загальності міркувань, припустимо, що a₁ не можна розкласти в добуток простих множників. Тоді a₁ =a₁₁ a_12, де a₁₁ та a₁₂ –нетривіальні дільники. Принаймні один з елементів a₁₁ та a₁₂ також не можна розкласти в добуток простих множників. Нехай цим елементом є a₁₁ . Для елемента a₁₁ міркування повторимо і т.д. Цей процес послідовного розкладу, очевидно, не може обірватися. Таким чином, ми дістанемо нескінченну послідовність елементів

а, a₁ , a₁₁ , a₁₁₁ ,…, (5)

у якій кожен наступний член є власним дільником попереднього.

Якщо a_i+1 є власним дільником a_i , то (a_i+1 )Ì(a_i ), оскільки a_i =a_i+1 r, де r – деякий елемент R . Тому головні ідеали, породжені елементами послідовності (5), утворюють нескінченну строго зростаючу послідовність ідеалів

(а)Ì(a₁ )Ì(a₁₁ )Ì(a₁₁₁ )Ì…,

а це суперечить доведеній вище лемі. Отже, наше припущення неправильне.

Доведено.

Покажемо тепер, що розклад, про який іде мова в теоремі 7, однозначний з точністю до порядку співмножників і до дільників одиниці.

Теорема 8. Якщо

a =p₁ p₂ …p_r =q₁ q₂ …q_s

є два розклади елемента а кільця головних ідеалів R в добуток простих множників, то r=s і, при відповідній нумерації співмножників, справджуються рівності q_i =ε_i p_i (і == 1, 2,…, r), де ε_i – деякий дільник одиниці кільця R .

Доведення.

Доводитимемо індукцією по r. При r = І справедливість твердження очевидна.

Справді, оскільки елемент а = р₁ простий, то добуток q₁ q₂ …q_s

може містити лише один множник q₁₌ p₁ .

Припустимо, що теорема правильна для r – 1 (2 £ r), і доведемо, що в такому разі теорема справедлива й для r. Справді, оскільки

a =p₁ p₂ …p_r і a = q₁ q₂ …q_s то

p₁ p₂ …p_r =q₁ q₂ …q_s (6)

З рівності (6) випливає, що q₁ q₂ …q_s ділиться на p₁ . Тому, за наслідком з теореми 6, принаймні один із співмножників q_1, q_2, …, q_s ділиться на p_i . Ми вважатимемо, що на p₁ ділиться множник q₁ : цього завжди можна досягти зміною нумерації множників q_1, q_2, …, q_s. Оскільки q₁ – простий елемент і ділиться на простий елемент p₁ , то q₁ =e₁ p₁ , де e₁ – деякий дільник одиниці кільця R . Підставивши в рівність (6) e₁ p₁ замість q₁ і скоротивши обидві частини одержаної рівності на р₁ , дістанемо:

p₂ p₃ …p_r =(e₁ q₂ ) q₃ …q_s.

Але, за індуктивним припущенням, r– 1 == s– 1 і при відповідній нумерації множників q_1, q_2, …, q_r :

q₂ =e₁ q₂ =e₂ p_2, q₃ =e₃ p₃ , …, q_r =e_r p_r ,

де e_i – деякі дільники одиниці кільця R . Тому r = s і при відповідній нумерації множників q₁ , q₂ , …, q_r :

q₁ =e₁ p₁ , q₂ =e₁ ^–1 e₂ p₂ =e₂ p