Z₄ ={}, 4·=, n=4.

Теорема Якщо кільце K має характеристику n, то для будь–якого aÎK справджується рівність na=0.

Доведення

ne=0 за умовою

na=n(ea)=(ne) a=0a=0.

Доведено.

Означення Комутативне кільце з одиницею e, в якому немає дільників нуля називається областю цілісності.

Задачі

№1

На множині R задані операції:

aÅb=a+b+1,

aÄb=a+b+ab,

де +, - звичайні арифметичні операції. Довести, що алгебра (R,Å,Ä), буде областю цілісності.

Доведення.

Властивості кільця перевіряються безпосередньою перевіркою. Перевіримо дистрибутивність

(aÅb)Äc=aÄcÅaÄb.

Нехай A=(aÅb)Äc, B=aÄcÅaÄb, тоді

A=(aÅb)Äc=(a+b+1)Äc=a+b+1+c+ac+ab+c=a+b+2c+ac+bc+1,

B=aÄcÅaÄb=(a+c+ac)+(b+c+bc)=a+c+ac+b+c+bc+1=a+b+2c+ac+bc+1,

Отже, A=B.

Перевіримо існування нульового елемента

aÅq=a,

a+q+1=a,

q=–1 – нульовий елемент.

Перевіримо існування симетричного елемента

aÅã=q,

a+ã+1=–1,

ã=–2-a – протилежний елемент.

Отже, алгебра (R,Å,Ä) буде комутативним кільцем. Тепер з’ясуємо наявність одиниці.

aÄe=a