Курсовая работа: Факторіальні кільця та їх застосування

rа + sc = 1.

Помноживши цю рівність на b, дістаємо:

(аb) r+с (bs) = b.

Обидва доданки лівої частини останньої рівності діляться на с, а тому і права її частина b ділиться на с.

Теорема 5. Якщо елемент а ÎR ділиться на кожен з елементів bÎR і сÎR , які між собою взаємно прості, то а ділиться і на добуток bс.

Доведення.

Справді, за умовою теореми, а.^: b, тобто а = bg. Оскільки а M с, то bgM с. Але b і с взаємно прості, тому, за теоремою 4, g: с, тобто g=cq.

Отже, а == (bс) q, тобто аMbс.

Доведено.

Теорема 6. Якщо R – кільце головних ідеалів і р – простий елемент цього кільця, то фактор-кільце R/(р) є поле.

Доведення.

Одиничний елемент = 1 + (р) кільця R/(р) відмінний від = (р). Справді, якби = , то елемент 1 містився б в ідеалі (р) і тому р/1. Але елемент р не може бути дільником одиниці, оскільки він нерозкладний. Отже, в кільці R/(р) є принаймні один відмінний від нуля елемент.

Покажемо, що в кільці R/(р) здійсненна операція ділення, крім_ділення на нуль, тобто що для будь-яких елементів = a + (р) ≠ 0 і = + (р) кільця R/(р) рівняння • = має в цьому кільці розв'язок. Справді, оскільки ≠, то а не ділиться на р. Отже, за другою властивістю нерозкладних елементів, елементи а і р – взаємно прості, тобто (а, р) = 1. Тому, за теоремою 2, в кільці R існують такі елементи r і s, що аr + рs = 1. Звідси

аrb + рsb =b, аrb º b (тоd p),

і, отже, • = . Таким чином, = є розв'язком рівняння =.

Доведено.

Наслідок. Якщо добуток кількох елементів кільця головних ідеалів R ділиться на простий елемент рÎR , то принаймні один із співмножників ділиться на р.

Доведення.

Припустимо, що добуток a₁ • а₂ •… • a_s (a_i ÎR ) ділиться на нерозкладний елемент р ÎR , тобто що a₁ а_2… а_s Î (р).

Розглянемо елементи a_i = а_i +(р) (і =1, 2,…. s) і = a₁ a₂ …a_s +(р). За означенням операції множення в кільці R/(р) =Оскільки a₁ a₂ …a_s Î(р), то = і, отже, = Звідси, оскільки, за теоремою 6, R/(р) є поле, випливає, що для деякого m (1 < т < s) =. Але =означає, що a_m Î(p), тобто що a_m M р.

Цим справедливість наслідку доведено.

Нашою метою буде тепер доведення твердження про можливість розкладу кожного елемента кільця головних ідеалів у добуток простих (нерозкладних) множників. Воно ґрунтується на такій лемі.

Лема. В кільці головних ідеалів R не існує нескінченної строго зростаючої послідовності ідеалів

U₀ Ì U₁ Ì U₂ Ì … Ì U_N Ì …. (4)

Доведення.

Припустимо, що нескінченна строго зростаюча послідовність (4) існує. Позначимо символом b об'єднання всіх ідеалів послідовності (4). Множина b є ідеал кільця R . Справді, якщо aєb і bєb , то а є елемент деякого ідеалу U_s, і b – деякого ідеалу U_l . Тому а і b є елементи ідеалу U_m , де m – більший з індексів s і l. Отже, (а + b)є U_m Ìb , (а – b)єU_m Ìb і для будь-якого rєR arєU_m Ìb . Оскільки R – кільце головних ідеалів, то ідеал b головний. Нехай b= (b). Елемент b, як елемент об'єднання ідеалів послідовності (4), належить до деякого ідеалу U_k , а отже, і до кожного ідеалу U_i, при і ≥k

Тому (b) = U_k =U_k+1 = U_k+2 =…. А це суперечить нашому припущенню.

Доведено.

Теорема 7. В кільці головних ідеалів R кожен відмінний від нуля елемент, що не е дільником одиниці, розкладається в добуток простих множників.