Курсовая работа: Факторіальні кільця та їх застосування

e (1+a)=0,

e=0 – одиничний елемент.

З’ясуємо чи існують дільники 0.

aÄb=–1, a≠–1, b≠–1,

a+b+ab=–1,

a+1+b (a+1)=0,

(a+1) (1+b)=0.

Оскільки a≠–1, b≠–1 і a, bÎR, то дільників нуля немає.

Це означає, що K – область цілісності.

Доведено.

№2

Довести, що множина Z[] усіх чисел виду a+b, де a і b – цілі числа, є кільцем відносно звичайних операцій додавання і множення.

Доведення.

Застосуємо прийом, який дає змогу скоротити процес доведення. Якщо треба довести, що деяка непорожня множина K₁ є кільцем, то її поміщають (якщо це можливо) в якесь відоме кільце K. Тоді треба лише довести, що K₁ є підкільце кільця K, звідки випливає, що K₁ – кільце.

Оскільки Z[] є підмножиною, наприклад, кільця всіх дійсних чисел R , то доведемо, що Z[] – підкільце кільця R . Застосуємо критерій підкільця.Насамперед, покажемо, що Z[]≠Ø. Це справді так, бо, наприклад, 0=0+0ÎZ[]. Нехай тепер t=a+b, s=c+d, де a, b, c, d ÎZ , t, s ÎZ[].

Покажемо, що (t+s)ÎZ[], (t–s)ÎZ[], tsÎZ[].

Справді, t±s=(a+b)±(c+d)=(a±c)+(b±d)ÎZ[], оскільки (a±с)ÎZ, (b±d)ÎZ. Аналогічно для добутку дістанемо ts=(a+b)±(c+d)=(ac+3bd)+(ad+bc)ÎZ[], оскільки для цілих чисел a, b, c, d, 3 маємо ac, 3bd, ad, bcÎZ .

Отже, Z[] – підкільце кільця дійсних чисел R , а тому Z[] – кільце.

Доведено.

2. Ідеали кільця

2.1 Поняття ідеалу

В теорії подільності цілих чисел, а також в загальній теорії подільності в кільцях, важливу роль відіграє теорема про можливість і однозначність розкладу елемента (числа) в добуток простих множників. Виявляється в деяких кільцях розклад елемента на добуток простих множників не однозначний.

Наприклад, 60=2·30=6·10, а 2, 6, 30, 10 – прості елементи в Z₂

Один і той же елемент в різних кільцях може бути простим і складеним.

Наприклад, 17 в Z[i] – складене 17=(4-i) (4+i).

Щоб з’ясувати, в яких кільцях справджується загальна теорема про існування і єдиність розкладу елемента в добуток простих множників, треба узагальнити поняття подільності елементів, що робиться за допомогою ідеалу.

Означення Непорожня множина I кільця K називається його ідеалом, якщо вона замкнена відносно віднімання і множення на довільний елемент кільця.

Переконаємося, що ідеал І замкнений відносно операції додавання. Справді із замкнутості відносно операції віднімання випливає, що 0ÎА (а–а=0), – еÎІ і поряд з кожним bÎI I'(–b) – b=–eb. Тому з кожним елементом a–b містить a – (–b)=a+b. (a+b)ÎI.

Звідси випливає, що ідеал І кільця К є його підкільцем. Проте не всяке підкільце кільця буде його ідеалом.