Курсовая работа: Факторіальні кільця та їх застосування

Означення 1. Якщо для елементів а і b області цілісності R в R існує такий елемент с, що а == bс, то говорять, що а ділиться на b або b ділить а і пишуть відповідно аM b; b/а або а == 0 (mod b).

Як бачимо, означення 1 є поширенням на область цілісності означення подільності в кільці цілих чисел, яке є конкретним прикладом області цілісності.

З означення 1 випливають такі властивості подільності в області цілісності:

1. "(a, b, cÎR ) [aM bÙbM cÞaM c].

2. "(a, b, cÎR ) [aM cÙbM cÞ(a+b)M c Ù(a-b)M c].

3. "(a, b, cÎR ) [aM b Þ acM b].

4. "(a_1, b_1, a_2, b_2,… , a_n, b_n, cÎ R ) [a₁ M cÙa₂ M c Ù… Ùa_n M c Þ (a₁ b₁ +a₂ b₂ + … + +a_n b_n ) M c].

Ці властивості, як легко бачити, є поширенням на область цілісності відповідних властивостей подільності в кільці цілих чисел.

5. Кожен елемент аÎR ділиться на будь-який дільник ε одиниці е. Справді, а = ε (ε^-1 а) і, отже, ε/а.

6. Якщо а ÎR ділиться на bÎR, то а ділиться і на bε, де ε – будь-який дільник одиниці.

Справді, з рівності а = bс випливає рівність а == bε (ε^-1 с) і, отже, bε/а.

7. Кожен з дільників одного з елементів а ÎR і aεÎR де ε – будь-який дільник одиниці, є дільником і іншого.

Справді, з рівності а = сg випливає рівність aε == с (εg), а з рівності аε = сq – рівність а == с (ε^-1 q). Отже, якщо с/а, то с/аε, і навпаки.

Всюди далі будемо розглядати елементи області цілісності R , відмінні від нуля.

Означення 2. Елементи а і b області цілісності R називаються асоційованими, якщо кожен з них є дільником іншого:

а = bс, b= аd. (1)

З рівностей (1) випливає, що а = а (сd). Звідси, скоротивши обидві частини рівності на а≠0, дістаємо сd = 1. Отже, с і d є дільники одиниці. Таким чином, якщо а і b – асоційовані елементи, то b = аε, де ε – деякий дільник одиниці. З другого боку, який би ми не взяли дільник одиниці ε, елементи а і аε асоційовані між собою, оскільки а = (аε) ε^-1 .

Означення 2'. Елементи а і b області цілісності R називаються асоційованими, якщо b= аε, де ε – деякий дільник одиниці.

В кільці цілих чисел, наприклад, асоційованими є кожні два числа т і – т.

Якщо а і b – асоційовані елементи, тобто а = bс і b = аd, то (а) Í (b) і (b) Í (а) і, отже, (а) = (b).

Таким чином, два асоційовані елементи а і b породжують той самий головний ідеал.

Нехай а і b – довільні елементи області цілісності R .

Означення 3. Елемент сÎR називається спільним дільником елементів а і b, якщо кожен з цих елементів ділиться на с. За властивістю 5, всі дільники одиниці е області цілісності R є спільними дільниками елементів а і b. Але в елементів а і b можуть бути й інші спільні дільники. Ми хочемо ввести поняття найбільшого спільного дільника цих елементів. Означення НСД двох цілих чисел, за яким найбільшим спільним дільником називають найбільший із спільних дільників, поширити на область цілісності не можна, оскільки в довільній області цілісності R немає відношення порядку. Проте ми знаємо й інше означення НСД двох чисел, а саме: НСД двох чисел називають такий спільний дільник цих чисел, який ділиться на будь-який інший їхній спільний дільник. Саме це означення ми й поширимо на область цілісності.

Означення 4. Найбільшим спільним дільником елементів а і b області цілісності R називається такий спільний дільник цих елементів, який ділиться на будь-який інший їхній спільний дільник.

Щоб зазначити, що d є найбільший спільний дільник елементів а і b, пишуть а=(а, b).

Якщо також d' = (а, b), то елементи d і d' діляться один на одного і, отже, вони асоційовані. З другого боку, якщо d = (а, b) і ε – будь-який дільник одиниці, то, очевидно, dе = (а, b). Як бачимо, найбільший спільний дільник елементів а і b визначається з точністю до множника ε, що є дільником одиниці.

Означення 5. Елементи а, bÎR називаються взаємно простими, якщо вони не мають спільних дільників, відмінних від дільників одиниці, тобто якщо (а, b) = 1.

Нехай ε – будь-який дільник одиниці і а – довільний елемент області цілісності R . Тоді а = аε• ε^-1 . З цієї рівності випливає, що всі елементи, асоційовані з елементом а, і всі дільники одиниці ε дільниками елемента а. Їх називають тривіальними, або невласними, дільниками елемента а. Всі інші дільники елемента а, тобто дільники, відмінні від аε і ε, якщо такі існують, називають нетривіальними, або власними. Так, в кільці цілих чисел Z тривіальними дільниками числа 10 є числа ±1, ±10 і нетривіальними – числа ±2, ±5.

Означення 6. Елемент аÎR називається нерозкладним, або простим, якщо він не є дільником одиниці й не має нетривіальних дільників; елемент аÎR називається розкладним, або складеним, якщо він має нетривіальні дільники.