Курсовая работа: Факторіальні кільця та їх застосування

№1 К–ідеал самого себе. Цей ідеал називається одиничним. Позначається І_е .

№2 Кожне кільце містить підкільце {0}, яке теж буде ідеалом кільця К. Цей ідеал називається нульовим. Позначається І₀ .

І_е та І₀ – тривіальні ідеали. В розумінні відношення включення І_е – найбільший, а І₀ – найменший серед усіх ідеалів кільця.

Означення Ідеал І кільця К називається головним, якщо він складається з усіх елементів ка кільця К, аÎК, кÎК. Говорять, що він породжений елементом а. Позначають (а).

Наприклад, ідеал Z₂ кільця Z буде головним, він породжений елементом 2 або –2.

2.1 Операції над ідеалами

Теорема Перетин ab ідеалів a, bÎK є ідеалом кільця K.

Доведення.

З того, що a, bÎI₁ ÇI₂ випливає, що abÎI₁ , abÎI₂ . Так як I₁ та I₂ –ідеали, то (a–b)ÎI₁ , (a–b)ÎI₂ Þ (a–b)ÎI₁ ÇI₂ . aÎI₁ ÇI₂ Þ aÎI₁ , aÎI₂ .

kÎK Þ kaÎI₁ , kaÎI₂ , kaÎI₁ ÇI₂ .

Отже, I₁ ÇI₂ ÎK.

Доведено.

Слід зауважити, що об’єднання ідеалів не завжди буде ідеалом кільця. Ця властивість поширюється на перетин n ідеалів.

Операції додавання й множення підмножин кільця можна, звичайно, застосувати до ідеалів.

Означення Сумою ідеалів I₁ , I₂ кільця K називається множина I₁ +I₂ , яка визначається рівністю

I₁ +I₂ ={a+bï aÎI₁ , bÎI₂ }.

Означення Добуток ідеалів I₁ I₂ кільця К теж буде ідеалом кільця К.

Нехай а і b – довільні ідеали кільця К.

Теорема 2 . Сума а + b ідеалів a і b кільця К є ідеал цього кільця.

Доведення.

Справді, сума (а₁ +b₁ ) + (a₂ + b₂ ) будь-яких двох елементів a₁ +b₁ і a₂ +b₂ множини a+b належить до a+b , оскільки (a₁ +a₂ )Îa , (b₁ +b₂ )Îb , і елемент – (а+b) = (–а) + (–b), протилежний довільно вибраному елементу (a+b)Î(a+b), також належить до a+b , бо (–a)Îa , (–b)Îb .

Отже, а + b є підгрупа адитивної групи кільця K . Крім того, для будь-яких елементів a+bÎa+b і хÎK x (a+b)=xa+xbÎa+b і (a+b) x=ax+bxÎa+b .

Цим теорему доведено.

Теорема 3. Добуток ab ідеалів а і b кільця К . також є ідеал кільця К .

Доведення.

Справді, сума + будь-яких двох елементів множини аb є, очевидно, елемент цієї самої множини, і елемент , протилежний довільно вибраному елементу Îab , належить до ab . Крім того, для будь-яких

Îab і xÎK Îab й Îab .

Цим теорему доведено.

Таким чином, у множині ідеалів кільця К здійсненні операції додавання й множення. Операція додавання ідеалів – асоціативна і комутативна, а операція множення – асоціативна. Якщо кільце К – комутативне, то операція множення ідеалів також комутативна.