Курсовая работа: Инвариантность стационарного распределения трехузловой сети массового обслуживания

Список литературы

Введение

Математическая теория массового обслуживания является разделом теории случайных процессов, изучающим определенный класс задач, которые возникают на практике, когда заявки, нуждающиеся в обслуживании, прибывают к некоторому обслуживающему устройству. В качестве примеров заявок и обслуживающих их устройств можно назвать абонентские вызовы, поступающие на телефонный коммутатор, станки, ожидающие обслуживание рабочими, автомобили, ожидающие у дорожного пересечения, самолёты, прибывающие в аэропорт, суда, заходящие в порт и т.д.

Системами (моделями) массового обслуживания называют математические модели систем, которые предназначены для обслуживания заявок, поступающих через случайные промежутки времени, причем длительность обслуживания в общем случае также случайна.

Системы массового обслуживания описываются заданием:

входящего потока заявок;

совместного распределения времен обслуживания заявок;

числа обслуживающих приборов (линий);

дисциплины обслуживания, организации очереди и процесса обслуживания.

В данной курсовой работе рассматривается система массового обслуживания для которой:

1) входящий поток заявок является пуассоновским;

2) в системе три обслуживающих прибора;

A) Марковский случай.

3 время обслуживания экспоненциальное

4 дисциплина обслуживания FIFO;

Б) Немарковский случай.

3) время обслуживания определяется с помощью произвольной функцией распределения времени обслуживания -м прибором одной заявки, такой что

;

4) дисциплина обслуживания LCFSPR; (заявка, поступающая в -ый узел, вытесняет заявку с прибора и начинает обслуживаться, вытесненная заявка идет в начало очереди).

В курсовой работе для открытой марковской сети массового обслуживания составим уравнения равновесия, найдем стационарные вероятности, установим условия эргодичности. Для не марковского случая составим дифференциально-разностное уравнение в частных производных для процесса, дополненного остаточными временами, найдем решение данного уравнения. Сравним марковский и немарковский случай. Сделаем вывод.

1. Теоретические сведения

1.1 Марковские процессы

Пусть Т и Х - некоторые подмножества числовой прямой R.

Определение 1. Случайный процесс со значениями в Х называется марковским, если для любых из Т и любых борелевских множеств из R

Другими словами, марковский процесс это такой случайный процесс, у которого при фиксированном настоящем будущее не зависит от прошлого. Если Х={i} конечно или счётно, то марковский процесс называют цепью Маркова. Если вероятности

не зависят от s , а зависят от t , то цепь Маркова называется однородной. Цепь Маркова с T={0,1,2,... } называют цепью с дискретным временем, цепь Маркова c

называют цепью с непрерывным временем.

Обозначим