Математика / Курсовая работа: Инвариантность стационарного распределения трехузловой сети массового обслуживания

Курсовая работа: Инвариантность стационарного распределения трехузловой сети массового обслуживания

Сети массового обслуживания разделяют на два типа: замкнутые и открытые (разомкнутые). В замкнутой сети обслуживания постоянное число заявок , то есть заявки не поступают извне и не уходят из сети. В открытую сеть заявки поступают из внешних источников и после завершения обслуживания могут покидать её.

Традиционный подход в описании моделей сетей массового обслуживания зависит от ряда предположений из теории стохастических процессов, например:

Переходы заявок между СМО сети описываются неприводимой цепью Маркова.

Заявки стохастически независимы.

Существует стационарный режим, работа сети может быть описана стационарным стохастическими процессами.

Времена обслуживания заявок в СМО сети распределены по показательному закону.

1.7 Нахождение стационарных вероятностей состояний открытой марковской сети массового обслуживания

Пусть входящий в открытую марковскую сеть массового обслуживания поток заявок описывается чистым процессом размножения с интенсивностью , причем в i -ую систему массового обслуживания входящая заявка поступает с вероятностью . Времена обслуживания заявок в i -той системе массового обслуживания распределены по показательному закону , зависящим от текущего числа заявок в i -той системе i=1,...,n .

Дисциплины обслуживания заявок в системе сети FIFO. Переходы заявок между системами, а также уход заявки из сети описывается неприводимой цепью Маркова. Заявка, завершающая обслуживание в системе , переходит с вероятностью в систему , есть вероятность ухода заявки из i -ой системы массового обслуживания сети.

В этом случае многомерный процесс N (t), определяющий состояние сети, является многомерным аналогом процесса размножения и гибели. Предположим, что существует стационарное распределение

принимает все возможные значения. Тогда, аналогично как и для одномерного процесса размножения и гибели, можно показать, что стационарное распределение единственно и удовлетворяет системе уравнений равновесия (баланса), которая представляет собой систему линейных разностных уравнений:

Для упрощения системы (1) введем величины так, что есть полная интенсивность поступления заявок в системы . Интенсивность состоит из интенсивности потока заявок, поступающих извне , и интенсивности поступления заявок в систему от других СМО, в том числе и от самой системы .

Поэтому (2).

Из (2) получим (3).

Соотношение (2) иногда называют законом сохранения потока заявок. Оно говорит о том, что интенсивность входящего потока заявок в i -тую СМО, i=1,..., n , в стационарном режиме равна интенсивности входящего потока заявок из этой системы.

Теорема1. (Джексона) Стационарное распределение может быть найдено в виде: