Курсовая работа: Инвариантность стационарного распределения трехузловой сети массового обслуживания

Вероятностями перехода за 1 шаг называют просто вероятностями перехода. Набор вероятностей называют начальным распределением цепи Маркова.

Определение 2. Цепь Маркова называется эргодической, если при

.

Если все , то цепь называется строго эргодической.

Набор называется эргодическим распределением, называются финальными вероятностями.

Определение 3. Распределение вероятностей называется стационарным распределением, если

- распределение вероятностей, то есть и

для всех .

Определение 4. Однородная марковская цепь называется неприводимой, если для любых двух состояний i и j , существует такое, что .

Определение 5. Однородная марковская цепь называется эргодической, если для любых начальных распределений абсолютное распределение всегда сходятся к одному и тому же распределению, которое является единственным стационарным распределением цепи:

для всех

Теорема (Эргодическая теорема Фостера).

Регулярная Марковская цепь с непрерывным временем и счетным числом состояний эргодична, если она неприводима и система уравнений

имеет нетривиальное решение такое, что

При этом существует единственное стационарное распределение, которое совпадает с эргодическим.

1.2 Простейший поток

Если у рекуррентного потока

,

то такой поток называется простейшим или пуассоновским потоком.

Определение 1. Если промежутки времени между моментами поступления заявок независимы и имеют показательное распределение с параметром l, то поток заявок называется простейшим или пуассоновским с параметром l.

Для простейшего потока вероятность поступления k заявок в промежутке времени [0, t) равна:

(k=0,1,2,…) ( 1)

Определение 2. Поток заявок называется стационарным, если для любых попарно непересекающихся интервалов времени вероятность поступления в них соответственно заявок зависит только от этих чисел и от длин и не зависит от их расположения на временной оси.

Определение 3. Поток заявок называется потоком без последействия, если вероятность поступления k заявок в течение промежутка времени [T,T+t) не зависит от того, сколько требований и каким образом поступало до момента Т.

Определение 4. Поток заявок называется ординарным, если для , где вероятность поступления двух или более заявок в промежутке .

Определение 5. Простейшим потоком называется стационарный ординарный поток без последействия.

Определение 6. Стационарный поток, для которого вероятность поступления k заявок за время t равна:

(k=0,1,2,…; l>0),

называется простейшим или пуассоновским потоком с параметром l.