В теории функций вещественной переменной большую роль играет понятие меры точечного множества, обобщающее понятие длины промежутка, площади прямоугольника, объема параллелепипеда и т.д. В этой главе мы изложим теорию измерения линейных ограниченных точечных множеств, принадлежащую А.Лебегу.

Так как наиболее простой структурой обладают открытые множества, то естественно начать именно с них.

Определение 1. Мерой интервала ( a, b) называется его длина, т.е. b - a . Это число обозначается так:

m (a, b) = b - a

Очевидно, что всегда m ( a, b) > 0.

Лемма 1 . Если в интервале Dсодержится конечное число взаимно не налегающих интервалов d₁ , d₂ , ..., d_n , то

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D = (A, B), d_k = (a_k , b_k ) (k = 1, 2, …, n).

Не нарушая общности, можно считать, что интервалы d_k перенумерованы в порядке возрастания левых концов, т.е. что

a₁ < a₂ < … < a_n .

Но тогда, очевидно, b_k £ a_{k +1} (k = 1, 2, …, n - 1), ибо иначе интервалы d_k и d_k+1 налегали бы друг на друга. Поэтому сумма

Q = (B - b_n ) + (a_n - b_{n -1} ) + … + (a₂ - b₁ ) + (a₁ - A)

не отрицательна. Но очевидно, что , откуда и следует лемма.

Следствие. Если на интервале D лежит счетное множество взаимно не налегающих интервалов d _k ( k = 1, 2, 3, …), то

.

[Имея дело с положительным расходящимся рядом, мы приписываем ему сумму, равную + ¥; поэтому всякий положительный ряд имеет некоторую сумму. Неравенства _k <C (положительного ряда) гарантирует его сходимость.]

Определение 2. Мерой mG непустого открытого ограниченного множества G называется сумма длин всех его составляющих интервалов d_k :

(Не зная, конечно или счетно множество {d_k }, мы будем употреблять обозначение d_k , подразумевая, смотря по обстоятельствам, под этим символом _k или _k .)

В силу вышеотмеченного следствия,

mG < + ¥

Если множество G пусто, то мы , по определению, полагаем

mG =0,

так что всегда mG³0.

Если D есть интервал, содержащий в себе открытое множество G, то

mG £ m D ,

что вытекает из того же следствия.

Пример (Канторово множество G ₀ ). Построение Канторова множества G ₀ состояло из ряда последовательных шагов.

На первом шагу брался интервал (1/3, 2/3) длины 1/3. На втором шагу к нему присоединялись два интервала: (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9), длины 1/9 каждый.

На третьем шагу присоединялись еще четыре интервала, длины 1/27 каждый и т.д.

Таким образом

mG ₀ =…

Суммируя по известной формуле эту прогрессию, получаем

mG ₀ = 1.

Теорема 1. Пусть G ₁ и G ₂ два ограниченных открытых множества. Если G ₁ Ì G ₂ , то

mG ₁ £ mG ₂ .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть d _i (i = 1, 2, …) и D_k (k = 1, 2, …) суть, соответственно, составляющие интервалы множеств G₁ и G₂ .

В силу теоремы 4, § 5, гл.II, каждый из интервалов d_i содержится в одном (и только одном) из интервалов D_k .

Поэтому множество {d_i } можно разбить на ряд взаимно не пересекающихся подмножеств А₁ , А₂ , А_3, …, относя d_i в А_k в том случае, когда d_i Ì D_k .

Тогда, пользуясь известными свойствами двойных рядов, мы можем написать

.

Но, в силу следствия леммы 1,

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--