m[C_D ] = (a-A) + (B-b),

и следовательно,

m[C_D F]=(B-A)-(b-a)+m[C_s F],

что и доказывает лемму.

Теорема 2. Пусть F ₁ и F ₂ два ограниченных замкнутых множества. Если F ₁ Ì F ₂ , то mF ₁ £ mF ₂ .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D есть интервал, содержащий множество F₂ . Тогда легко проверить, что С_D F₁ É C_D F₂ , и, стало быть, m[C_D F₁ ] [ C_D F₂ ], так что дело сводиться к предыдущей лемме.

Следствие . Мера ограниченного замкнутого множества F есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в F .

Теорема 3 . Пусть F замкнутое множество, а G открытое ограниченное множество. Если F Ì G , то mFmG .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть D есть интервал, содержащий множество G. Легко видеть, что D= G+C_D F, откуда, в силу теоремы 3, получаем, что mD mG + m[C_D F], и дело сводится к лемме.

Теорема 4 . Мера открытого ограниченного множества G есть точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в G .

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу предыдущей теоремы, mG есть точная граница мер замкнутых множеств FÌG, и надо доказать, что меры этих замкнутых множеств могут быть сколь угодно близки к mG.

Пусть составляющие интервалы множеств G суть(l_k , m_k ) (k=1, 2, …), так что mG = (m_k - l_k ).

Возьмем произвольное e> 0 и найдем столь большое натуральное n, чтобы оказалось m_k - l_k )> mG - .

Затем для каждого k (k=1, 2, …, n) найдем такой сегмент[a_k , b_k ], чтобы было

[a_k b_k ,] Ì (l_k , m_k ), m[a_k , b_k ] >m(l_k , m_k ) -,

(для чего достаточно взять такое h_k , что

0 < h_k < min[, ]

и положить a_k = l_k +h_k , b_k =m_k - h_k ). Положим, наконец,

F₀ = _k , b_k ].

Тогда, очевидно, F₀ ÌG, F₀ замкнуто и

mF₀ =(b_k -a_k ) > (m_k -l_k ) - > mG - e.

Так как e произвольно мало, то теорема доказана.

Теорема 5. Мера замкнутого ограниченного множества F есть точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих F .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Как и выше, достаточно показать, что можно построить открытое ограниченное множество, содержащее множество F и имеющее меру, сколь угодно близкую к mF.

С этой целью возьмем интервал D, содержащий множество F, и рассмотрим открытое множество C_D F. Каково бы ни было e>0, мы можем (в силу теоремы 4) найти замкнутое множество Ф такое, что Ф Ì С_D F, mФ>m[C_D F]- e.

Положим G₀ = С_D Ф. Легко видеть, что G₀ есть открытое множество, содержащее F. Вместе с тем

mG₀ = mD-mФ <mD-m[C_D F] + e = mF + e

Теорема доказана.

Теорема 6 . Пусть ограниченное замкнутое множество F есть сумма конечного числа взаимно не пересекающихся замкнутых множеств

F = (F_k F_k’ = 0, k ¹k’).

Тогда

mF =

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, достаточно рассмотреть случай двух слагаемых F = F₁ +F₂ (F₁ F₂ =0).

Возьмем произвольное e > 0 и подберем два ограниченных открытых множества G₁ и G₂ так, чтобы оказалось

G_i É F_i (i = 1, 2),

что возможно в силу предыдущей теоремы.

Положим G = G₁ + G₂ .

Тогда G есть открытое ограниченное множество, содержащее множество F. Значит,

mF£mG£mG₁ + mG₂ < mF₁ + mF₂ + e.

В силу произвольности e, отсюда следует что

mF £ mF₁ + mF₂ (*)

С другой стороны, в силу теоремы отделимости, существуют такие открытые множества B₁ и B₂ , что

B_i É F_i (i = 1, 2), B₁ B₂ = 0.