Теорема 7 . Пусть Е ограниченное множество. Если D интервал, содержаций это множество, то

m*E+m_* [C_D E]=mD.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольное e>0 и найдем такое замкнутое множество F, что FÌC_D Е, mF>m_* [C_D E]- e.

Если мы положим G=C_D F, то множество G будет открытым ограниченным множеством, содержащим множество Е, откуда, с помощью леммы находим

m_* E£mG = mD - mF< mD - m_* [C_D E] + e.

Отсюда, в силу произвольности e, следует, что

m*E + m_* [C_D E] £ mD.

Для того чтобы получить обратное неравенство

m*E + m_* [C_D E] ³ mD, (*)

приходится рассуждать тоньше.

Возьмем e>0 и найдем такое открытое ограниченное множество G₀ , что G₀ É Е, mG₀ < m*E + .

Назовем концы интервала D черезA и B и построим такой содержащийся в D интервал (a, b), что

A < a < A+, В - < b < B.

Сделав это, положим G = DG₀ + (A, a) + (b, B).

Множество G открыто, ограничено, содержит E и таково, что

mG < m*E + e.

Но кроме того (и это здесь основное) множество F = C_D G оказывается замкнутым , что вытекает из легко проверяемого тождества F = [а, b] × CG.

Так как FÌ С_D Е, то m_* [С_D Е] ³ mF = mD - mG>mD - m*E -e.

Отсюда, в силу произвольности e, следует неравенство (*), а с ним и теорема.

Следствие. В обозначениях теоремы будет

m*[C_D Е] - m_* [C_D Е] = m*E – m_* E.

В самом деле, если мы переменим роли множеств Е и С_D Е, то получим, что m*[C_D Е] + m_* Е = mD, откуда

m*[C_D Е] + m_* E = m*E + m_* [C_D E],

а это равносильно доказываемому утверждению.

Измеримые множества

Определение. Ограниченные множество Еназывается измеримым , если его внешняя и внутренняя меры равны друг другу :

m^* E=m_* E.

Их общее значение называется мерой множества E и обозначается через mE:

mE=m^* E=m_* E .

Этот способ определения понятия меры принадлежит Лебегу, в связи с чем иногда измеримое множество называют множеством “измеримым в смысле Лебега”, или, короче, “измеримым (L)”.

Если множество E неизмеримо, то о его мере нельзя говорить, и символ mE для нас лишен смысла. В частности, неизмеримыми мы считаем все неограниченные множества.

Теорема 1. Открытое ограниченное множество измеримо и его вновь определенная мера совпадает с мерой.

Этот результат есть непосредственное следствие теоремы 1. Точно также из теоремы 2, вытекает следующая теорема:

Теорема 2. Замкнутое ограниченное множество измеримо и его вновь определенная мера совпадает с введенной.

Из следствия теоремы 7, вытекает:

Теорема 3. Если Е есть ограниченное множество, содержащееся в интервале D, множества Е и С _D Е одновременно измеримы или нет.

Из сопоставления теорем 5 и 6 предыдущей темы следует:

Теорема 4. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества измеримых множеств, попарно не имеющих точек,

(Е_k Е_{k ’} = 0, k¹k’),