Тогда множества B₁ G и B₂ G суть открытые ограниченные взаимно не пересекающиеся множества, содержащие, соответственно, множества F₁ и F₂ .

Значит,

MF₁ + mF₂ £m(B₁ G) + m(B₂ G) = m [B₁ G + B₂ G]

(здесь мы воспользовались аддитивностью меры для открытых множеств). Но B₁ G + B₂ GÌ G, откуда

mF₁ +mF₂ £ mG< mF+e

и в силу произвольности e,

mF₁ + mF₂ £ mF. (^* _* )

Сопоставляя (^* ) и (^* _* ), получим

mF = mF₁ + mF₂ ,

что и требовалось доказать.

Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества

Определение 1. Внешней мерой m ^* E ограниченного множества E называется точная нижняя граница мер всевозможных открытых ограниченных множеств, содержащих множество E :

Очевидно, для всякого ограниченного множества E cуществует внешняя мера, причем 0 £ m*E < +¥.

Определение 2. Внутренней мерой m * E ограниченного множества E называется точная верхняя граница мер всевозможных замкнутых множеств, содержащихся в множестве E :

m*E=.

Очевидно, что всякое ограниченное множество E имеет внутреннюю меру, причем 0 £m_* E< +¥.

Теорема 1. Если G есть открытое ограниченное множество, то

m*G = m_* G = mG.

Теорема вытекает из следствия теоремы 1 и теоремы 4.

Теорема 2. Если F есть замкнутое ограниченное множество, то

m*F = m_* F = mF.

Теорема вытекает из следствия теоремы 2 и теоремы 5.

Теорема 3. Для всякого ограниченного множества Е

m_* E £m*E.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Gограниченное открытое множество, содержащее множество Е. Какое бы замкнутое подмножество Fмножества Е ни взять, будет FÌ Gи, в силу теоремы 3, mF£ mG. Отсюда m_* E£ mG. Но так как это верно для всякого открытого ограниченного множества G, содержащего Е, то m_* E£ m*E,что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Пусть A и B суть ограниченные множества. Если A Ì В, то

m_* A £ m_* В, m^* A £ m^* B.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Оба неравенства доказываются аналогично. Остановимся для примера на первом из них.

Пусть S есть множество, состоящее из мер всевозможных замкнутых подмножеств множества А, а Т такое же множество для множества В. Тогда m_* A = supS, m_* B = supT.

Пусть F есть замкнутое подмножество А, тогда и подавно F является подмножеством множества В. Отсюда следует, что SÌ T, и теорема вытекает из того известного факта, что точная верхняя граница подмножества какого-либо множества не превосходит точной верхней границы самого этого множества.

Теорема 5. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества множеств Е _k

E=, то m*E£.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Теорема тривиальна в случае расходимости ряда . Предположим, что этот ряд сходится. Взяв произвольное e > 0, мы можем найти такие открытые ограниченные множества G_k , что

G_k ÉE_k , mG_k <m*E_k + (R=1, 2, 3, …).

Назовем через D какой-нибудь интервал, содержащий множество Е. Тогда ЕÌD, откуда, в силу теоремы 3.

m*E £ m= m£,

и теорема вытекает из произвольности числа e.

Теорема 6 . Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих множеств Е_k

Е= (E_k E_{k ’} =0, k¹k’),

то

m*E³_* E_k .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим первые n множеств Е₁ , Е₂ ,... …, Е_n . Для любого e > 0 существуют такие замкнутые множества F_k , что

F_k ÌE_k , mF_k >m_* E_k - (k=1, 2, …, n).

Множества F_k попарно не пересекаются и сумма их замкнута. Отсюда, применяя теорему 6, получим

m_* E³m= mF_k > m_* E_k - e.

Так как e >0 произвольно, то m_* E_k £ m_* E.

Этим теорема доказана для случая конечного числа слагаемых множеств. Если же этих множеств имеется счетное множество, то, опираясь на произвольность числа n, мы установим сходимость ряда m_* E_k и неравенство m_* E_k £ m_* E.