Курсовая работа: Метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования решения задачи Коши
. (2.2.1)
В качестве примера можно рассмотреть первую квадратурную формулу Гаусса, также называемую «правилом средней точки»:
(2.2.2)
где 
и 
– граничные точки подинтервалов, на которые разбит интервал интегрирования. Известно, что оценка глобальной погрешности этой формулы 
имеет вид 
. Таким образом, если желаемая точность составляет 6 десятичных знаков, ее обычно можно получить приблизительно за 1000 шагов, то есть этот метод в тысячу раз быстрее. Поэтому Рунге поставил следующий вопрос: нельзя ли распространить этот метод на исходную задачу Коши? Первый шаг длины 
должен иметь вид
. (2.2.3)
Но какое значение взять для 
? За неимение лучшего естественно использовать один малый шаг метода Эйлера длины 
. Тогда из предыдущей формулы получим:
(2.2.4)
Решающим обстоятельством здесь является умножение 
в третьем выражении на 
, в результате чего влияние погрешности становится менее существенным. Точнее, вычислим для 
разложение Тейлора по степеням :
(2.2.5)
Его можно сравнить с рядом Тейлора для точного решения, который получается из того, что 
путем повторного дифференцирования с заменой 
на 
каждый раз, когда оно появляется:
(2.2.6)
Вычитая из последнего равенства предыдущее, получим для погрешности первого шага выражение
(2.2.7)
Таким образом, если все частные производные второго порядка ограничены, то
.
Чтобы получить приближенное значение решения исходной задачи в конечной точке 
, будем применять формулы (2.2.4) последовательно к интервалам 
. Приведенные выше формулы являются усовершенствованным методом Эйлера. Для вычислений с высокой точностью, однако, следует пользоваться другими методами, одним из которых как раз является метод Рунге-Кутты.
1.3 Общая формулировка методов Рунге-Кутты
Рунге и Хойн построили новые методы, включив в указанные формулы один или два добавочных шага по Эйлеру. Но именно Кутта сформулировал общую схему того, что теперь называется методом Рунге-Кутты.
Пусть 
– целое положительное число (число стадий, этапов) и 
– вещественные коэффициенты. Тогда метод
(2.3.1)
называется 
-стадийным явным методом Рунге-Кутты для исходной задачи Коши (2.1.1)
Обычно коэффициенты 
удовлетворяют условиям
. (2.3.2)
Эти условия были приняты Куттом без каких-либо комментариев. Смысл их заключается в том, что все точки, в которых вычисляется 
, являются приближениями первого порядка к решению. Эти условия сильно упрощают вывод условий, определяющих порядок аппроксимации для методов высокого порядка. Однако для методов низких порядков эти предположения необходимыми не являются.
Метод Рунге-Кутты имеет порядок 
, если для достаточно гладких задач (2.1.1) справедливо неравенство
, (2.3.3)
то есть ряды Тейлора для точного решения 
и для 
совпадают до члена 
включительно.
После статьи Бутчера вошло в обычай символически представлять метод (2.3.1) по средствам следующей таблицы:
|
|
К-во Просмотров: 505
Бесплатно скачать Курсовая работа: Метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования решения задачи Коши
|
