Математика / Курсовая работа: Метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования решения задачи Коши

Курсовая работа: Метод Рунге-Кутты четвертого порядка с автоматическим выбором шага интегрирования решения задачи Коши

1.4 Обсуждение методов порядка 4

Подойдем теперь вплотную к определению 4-стадийных методов Рунге-Кутты (2.3.1) с таким расчетом, чтобы они имели порядок 4. Для этого необходимо вычислить производные порядков 1, 2, 3 и 4 от при и сравнить их с производными точного решения. Теоретически при известных правилах дифференциального исчисления это совершенно тривиальная задача. Однако с использованием (2.3.2) получаются следующие условия:

Эти вычисления очень утомительны и емки. Их громоздкость очень быстро растет для более высоких порядков.

Лемма 1.

Если

(2.4.2)

то уравнения d), g) и h) являются следствием остальных.

Доказательство.

Покажем это для g). C помощью уравнений c) и e) получим:

Для уравнений d) и h) процедура аналогична.

Покажем, что в нашем случае условие

является и необходимым.

Лемма 2.

При (2.4.2) следует из уравнений (2.4.1) и уравнений (2.3.2).

Для доказательства потребуется следующая лемма 3.

Лемма 3.

Пусть и суть 3x3-матрицы, такие что

, (2.4.3)

тогда либо , либо , где .

Доказательство.

Если , то из следует . Если же , то существует вектор , такой, что , и поэтому . Но тогда из (2.4.3) следует, что должен быть пропорционален вектору .