Курсовая работа: Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца
Ясно, что m(σ,f) представляет собой вещественнозначную функцию от σ, определенную на положительной вещественной полуоси 
. Очевидно, что m(σ,f) – невозрастающая и непрерывная справа функция. Кроме того,
при 1≤p<∞
и 
.
Используя функцию распределения m(σ,f), введем теперь слабые lp -пространства, обозначаемые через 
. Пространства , 1≤p<∞, состоит из всех функций f , таких что
В предельном случае p=∞, положим 
.
Заметим, что 
не является нормой при 1≤p<∞.
Действительно, ясно, что
Применяя неравенство 
, заключаем, что
Последнее означает, что представляет собой так называемое квазинормированное векторное пространство. (В отличие от нормированных пространств, где выполняются неравенство треугольника 
, в квазинормированных пространствах имеет место лишь "квази-неравенство треугольника" 
для некоторого k≥1.) Однако, при p>1 в пространстве можно ввести норму, при наделении которой оно становится банаховым пространством.
Теорема 1.2 (Интерполяционная теорема Марцинкевича)
Пусть p0 ≠p1 и
T: 
с нормой 
,
T: 
с нормой 
.
Положим 
; 
, и допустим, что p≤q.
Тогда T: 
→
, с нормой μ, удовлетворяющей неравенству 
.
Эта теорема, напоминает теорему Рисса-Торина, но отличается от нее во многих важных отношениях.
Во-первых, здесь скаляры могут быть как вещественными, так и комплексными, в то время как в теореме Рисса-Торина обязательно нужно, чтобы скаляры были комплексными. Во-вторых здесь имеется ограничение p≤q. Наиболее важная особенность состоит в том, что в предпосылках теоремы пространства 
и 
заменены на более широкие пространства 
и 
.
Таким образом, теорема Марцинкевича может оказаться применимой в тех случаях, где теорема Рисса-Торина уже не работает.
2 .Общие свойства интерполяционных пространств
Пусть A- векторное пространство над полем вещественных или комплексных чисел. Оно называется нормированным векторных пространством, если существует вещественнозначная функция (норма) 
, определенная на A, удовлетворяющая условием.
1) 
, причем 
2) 
(λ-скаляр)
3) 
.
Пусть A и B – два нормированных векторных пространства. Отображение T из A в B называется ограниченным линейным оператором, если
, 
и 
.
Ясно, что всякий ограниченный линейный оператор непрерывен.
Пусть A0 и A1 – топологических векторных пространства. Говорят, что