Курсовая работа: Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца

Справедлива следующая лемма

Лемма 2.1. Пусть A₀ и A₁ -совместимые нормированные векторные пространства. Тогда

A₀ ∩A₁ , есть нормированное векторное пространство с нормой

A₀ + A₁ , также представляет собой нормированное векторное пространство с нормой

При этом если A₀ и A₁ – полные пространства, то A₀ ∩A₁ и A₀ + A₁ также полны.

Дадим некоторые важные определения:

Категория σ состоит из объектов A,B,C…., и морфизмов R,S,T,…. между объектами и морфизмами определено трехместное отношение T: A↷B.

Если T: A↷B и S: B↷C, то существует морфизм ST, называемый произведением (или композицией) морфизмов S и T, такой, что ST: A↷C.

Операция взятия произведения морфизмов удовлетворяет закону ассоциативности: T(SR)=(TS)R. далее, для всякого объекта A из σ существует морфизм I=I_A , такой, что для любого морфизма T: A↷ATI=IT=T

Через σ₁ обозначим категорию всех совместимых пар пространств из σ.

Определение 2.1. Пусть =(A₀ ,A₁ )-заданная пара из σ₁ . Пространство A из σ будем называть промежуточным между A₀ и A₁ (или относительно ), если имеют место непрерывные вложения.

.

Если, кроме, того T: ↷влечет T: A↷A, то A называется интерполяционным пространством между A₀ и A₁ .

Более общим образом, пусть и - две пары из σ₁ . Тогда два пространства A и B из σ называются интерполяционными относительно и соответственно и T: ↷влечет T: A↷B.

Если выполнено

,

В этом случае, говорят, что A и B равномерные интерполяционные пространства.

Определение 2.2 Интерполяционные пространства A и B называются пространствами типа θ (0≤θ≤1), если

В случае с=1 говорят, что A и B- точные интерполяционные пространства типа θ.

3. О норме и спектральном радиусе неотрицательных матриц

Хорошо известно, что проблема нахождения нормы линейного оператора, спектрального радиуса оператора являются трудной проблемой и в конечномерном случае. В то же время, иногда важно не вычисляя нормы оператора знать, как она изменится в случае некоторого преобразования.

В данной работе изучается влияние распределения ненулевых элементов неотрицательной матрицы на норму соответствующего оператора и спектрального радиуса.

Определим пространство как множество всех наборов вида

a=(a₁ , a₂ ,…, a_N )

с нормой

.