Курсовая работа: Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца

Спектральный радиус линейного оператора в конечномерном пространстве определяется следующим образом:

r(A)=,

где l_k - собственные значения оператора A.

Пусть m ≤ N, d₁ ,…,d_m - положительные числа. Через D_m обозначим множество неотрицательных матриц А, ненулевые элементы которых принимают значения d₁ ,…,d_m . Через P(A) обозначим множество индексов соответствующих положительным элементам. Пусть AÎD_m . Если D={(k_i ,l_j ), i=1,…,q, j=1,…,p} подрешетка, содержащая P(A), то для соответствующего оператора А

Как видно из этого определения, от перестановки строк и столбцов матрицы норма не меняется.

Пусть даны положительные числа d₁ ,…,d_m и натуральное число m < N² .

Будем исследовать следующие вопросы:

Как расположить числа d₁ ,…,d_m в решетке Q, чтобы норма линейного оператора A_Q соответствующего решетке (матрице) Q была максимальной?

Пусть в неотрицательной решетке Qm положительных элементов. Как расположить (m+1)-ый элемент, чтобы норма линейного оператора A_Q соответствующей полученной решетке была максимальной?

Как расположить числа d₁ ,…,d_m в решетке Q, чтобы спектральный радиус был минимальным (максимальным)?

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 3.1 Пусть d₁ ,…,d_m положительные числа, D_m - класс неотрицательных матриц, ненулевые элементы которых принимают значения d₁ ,…,d_m . Если m ≤ N, Q₀ -произвольная подрешетка размерности 1m, то

.

Доказательство. Воспользуемся определением и неравенством Коши-Буняковского, получаем

Неравенство в обратную сторону очевидно.

Теорема доказана.

Данное утверждение говорит о том, что если ненулевых элементов меньше либо равно N, то своего максимума норма достигается когда все ненулевые элементы расположены в одной строке или в одном столбце.

Теорема 3.2 Пусть d₁ =…=d_m =d, то есть D_m – множество всех матриц, имеющие m ненулевых элементов, которые равны числу d. Q₀ -произвольная решетка, симметричная относительно главной диагонали размерности nn, где n=min{r: r² ≥ m}. Тогда

,

где [m^1/2 ] - целая часть числа m^1/2 .

Доказательство. Из свойства спектрального радиуса имеем для AÎD_m

.

Пусть Q₁ -подрешетка, также симметричная относительно главной диагонали размерности . Тогда для AÎD_m , Q₁ ÌP(A)ÌQ₀ имеет место представление

А=А₁ +А₀ , где А₁ ,А₀ ÎD_m , Р(А₁ )=Q₁ , P(A₀ )ÌQ₁ \Q₀ .