Курсовая работа: Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца

,

поэтому r(A₀ )≤r(A).

С другой стороны А₁ – симметричная матрица и следовательно

.

Таким образом,

.

Теорема доказана.

Теорема 3.3 Пусть множество GÌQ, где Q - решетка размерности nn таково, что, если (k,l)ÎG, то (l,m),(n,k)ÏG для всех n,mÎ{1,2,…,N}.

Тогда, если P(A)ÌG, то r(P(A))=0.

Доказательство. Не трудно проверить, что для матрицы А с ненулевыми элементами из G (т.е. P(A)ÌG) имеет место равенство А² =0, т.е. А – нильпотентная матрица индекса 2 и следовательно у нее единственное собственное значение 0.

Теорема доказана.

Теорема 3.4 Пусть AÎD_m . Пусть Q₀ -минимальная подрешетка содержащая P(A), (Q₀ ÉP(A)) такая, что в каждой строке и в каждом столбце находится хотя бы один элемент соответствующий нулевому элементу матрицы A.

Пусть A_d – матрица, полученная из матрицы A добавлением элемента со значением d>0 в одно из свободных мест, тогда

Доказательство.

Так как норма оператора не зависит от перестановки строк и столбцов матрицы, то можно считать, что решетка A₀ ={(i,j), i=1,…,l; j=1,…,m} расположена в левом верхнем углу матрицы A. Пусть добавлен еще один ненулевой элемент d с координатами (i₀ ,j₀ ) вне решетки Q₀ . Возможны три случая:

1) 1 ≤ i₀ ≤ l, j₀ > m;

2) i₀ > l, 1 ≤ j₀ ≤ m;

3) i₀ > l, j₀ > m.

Рассмотрим первый случай. Не уменьшая общности положим, что этот ненулевой элемент соответствует индексу (1, m+1). По условию теоремы в каждой строке и в каждом столбце имеется хотя бы один нулевой элемент и мы можем предположить, что a_{1 m} =0. Получаем:

Используя неравенства

,

имеем:

Пусть z₁ =x₁ , z₂ =x₂ ,…,z_m =и

,