Курсовая работа: Некоторые интерполяционные свойства конечномерных сетевых пространств и пространств Лоренца
Лемма доказана.
Лемма 4.3 Пусть 1<p<∞, 1≤q≤∞, M= 
. Тогда
Равенства понимаются с точностью до эквивалентности норм, причем константы не зависят от
.
Доказательство. Сначала докажем соотношение:
(2)
Заметим, что
Поэтому
Теперь покажем обратное неравенство. Пусть 
. Учитывая выбор 
имеем.
~
~ 
Заметим, что
Согласно (2) получаем:
то есть 
↪
.
Докажем обратное включение. Пусть 
Введем следующие обозначения:
Тогда
.
Пусть для определенности