Курсовая работа: Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Но в рассматриваемом случае – действительно и положительно, так что . Поэтому

С1 =0, С2 = 0

и, следовательно,

Х (х)0.

2. При = 0 также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет вид

Х (х) = С1х + С2.

Граничные условия дают:

т. е. С1 = 0 и С2 = 0 и, следовательно,

Х (х)0.

3. При › 0 общее решение уравнения может быть записано в виде

Граничные условия дают:

Если Х(х) не равно тождественно нулю, то D20, поэтому

(19)

Или

где n- любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

где Dn – произвольная постоянная.

Итак, только при значениях , равных

(20)

существуют нетривиальные решения задачи (11)

(21)

определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям n соответствуют решения уравнения (9)

(22)