Курсовая работа: Некоторые уравнения математической физики в частных производных

Физическое условие (7) (начальное условие) соответствует тому, что при в разных сечениях стержня задана температура, равная φ(x). Условия (8) и (9) (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при х = 0 и при х = поддерживается температура, равная ψ1(t) и ψ2(t) соответственно.

Доказывается, что уравнение (6) имеет единственное решение в области , удовлетворяющее условиям (7) – (9).

2.2 Решение задач

1. Задача:

Решить уравнение

.

Решение. Составим и решим систему уравнений характеристик

Уравнение даёт первый интеграл . Преобразуем три дроби , используя правило работы с равными дробями:

.

Отсюда получим второй первый интеграл

.

Возьмём следующее уравнение , подставим и в это уравнение, получим

.

Решим полученное линейное уравнение:

.

Получим третий первый интеграл

.

2. Задача

Найти общее решение уравнения

.

Решение: Составим и решим систему уравнений характеристик

Первый интеграл равен . Функция вида , где - произвольная дифференцируемая функция, является общим решением уравнения.

3. Задача

Решить уравнение

.

Решение. Составим систему уравнений характеристик

.

Первая пара дробей даёт первый интеграл