Курсовая работа: Опис та типологія коливань

Приватний інтеграл рівняння (2,2) шукаємо у вигляді х1 = b cos (yt+β) зтим же періодичним множником. Підстановка в рівняння дає: b=f/m(ω²-y²) ; додаючи рішення однорідного рівняння, одержимо загальний інтеграл у вигляді

(2,4)

Довільні постійні а й α визначаються з початкових умов.

Таким чином, під дією періодичної сили, що змушує, система робить рух, що представляє собою сукупність двох коливань - із власною частотою системи ? і із частотою сили, що змушує, в.

Рішення (2,4) незастосовно у випадку так званого резонансу , коли частота сили, що змушує, збігається із власною частотою системи. Для знаходження загального рішення рівняння руху в цьому випадку перепишемо вираження ,(2,4) з відповідним перепозначенням постійних у вигляді

При в → ω і другий член дає невизначеність виду 0/0. Розкриваючи її за правилом Лопиталя, одержимо:

(2,5)

Таким чином, у випадку резонансу амплітуда коливань росте лінійно поки коливання не перестануть бути малими. З'ясуємо ще, як виглядають малі коливання поблизу резонансу, коли

в = ω + ε , де ε - мала величина. Представимо загальне рішення в комплексному виді, як

(2,6)

Тому що величина мало міняється протягом періоду 2π/ω множника , то рух поблизу резонансу можна розглядати як малі коливання, але зі змінною амплітудою

Позначивши останню через ІЗ , маємо:

Представивши А и В відповідно у вигляді й одержимо:

(2,7)

Таким чином, амплітуда коливається періодично із частотою ε , міняючись між двома межами

Це явище зветься биттів .

Рівняння руху (2,2) може бути про інтегровано й у загальному виді при довільній силі, що змушує, F(t ), Це легко зробити, переписавши його попередньо у вигляді

або

(2,8)

де уведена комплексна величина

(2,9)

Рівняння (2,8) уже не другого, а першого порядку. Без правої частини його рішенням було б

с постійної А. Дотримуючись загального правила, шукаємо рішення неоднорідного рівняння у вигляді

і для функції A(t) одержуємо рівняння