Курсовая работа: Опис та типологія коливань

Інтегруючи його, одержимо рішення рівняння (2,8) у вигляді

(2, 10)

де постійна інтегрування ε0 являє собою значення ε у момент часу t = 0. Це і є шукане загальне рішення; функція x(t) дається мнимою частиною вираження (2,10).

Енергія системи, що робить змушені коливання, зрозуміло, не зберігається; система здобуває енергію за рахунок джерела зовнішньої сили. Визначимо повну енергію, передану системі за увесь час дії сили (від - ? до + ?), припускаючи початкову енергію рівної нулю. Відповідно до формули (2,10) (з нижньою межею інтегрування - ? замість нуля й з

ξ (-∞) = 0) маємо при t → ∞:

З іншого боку, енергія системи як такий дається вираженням

(2,11)

Підставивши сюди | ξ (∞) |² , одержимо шукану передачу енергії

у вигляді

(2,12)

вона визначається квадратом модуля компоненти Фур'є сили F(t) із частотою, рівній власній частоті системи.

Зокрема, якщо зовнішня сила діє лише протягом короткого проміжку часу (малого в порівнянні з 1/ω ), те можна покласти .

Тоді

Цей результат заздалегідь очевидний: він виражає собою той факт, що короткочасна сила повідомляє системі імпульс ∫F dt , не встигши за цей час зробити помітного зсуву.

Коливання систем з багатьма ступенями волі

Теорія вільних коливань систем з декількома (s) ступенями волі будується аналогічно тому, як було розглянуто в одномірних коливаннях.

Нехай потенційна енергія системи U як функція узагальнених координат qi (i = 1, 2, .,., s) має мінімум при qi=qi0 . Уводячи малі зсуви

xi = qi – qi0 (3,1)

і розкладаючи по них U з точністю до членів другого порядку, одержимо потенційну енергію у вигляді позитивно певної квадратичної форми

(3, 2)

де ми знову відраховуємо потенційну енергію від її мінімального значення. Оскільки коефіцієнти kik і kki входять в (3, 2) помноженими на ту саму величину xi xk , те ясно, що їх можна завжди вважати симетричними по своїх індексах

У кінетичній же енергії, що має в загальному випадку вид

думаємо в коефіцієнтах qi = qi0 і, позначаючи постійні aik(qo) за допомогою mik , одержуємо її у вигляді позитивно певної квадратичної форми

(3,3)

Коефіцієнти m_lk теж можна завжди вважати симетричними по індексах

mik = mki