Курсовая работа: Опис та типологія коливань

де уведене позначення

Відповідно рівняння руху

будуть містити лише по одній невідомій функції Qa(t).

Загасаючі коливання

Дотепер ми завжди мали на увазі, що рух тіл відбувається в порожнечі або що впливом середовища на рух можна зневажити. У дійсності при русі тіла в середовищі остання чинить опір, що прагне сповільнити рух. Енергія тіла, що рухається, при цьому зрештою переходить у тепло.

Процес руху в цих умовах уже не є чисто механічним процесом, а його розгляд вимагає обліку руху самого середовища й внутрішнього теплового стану як середовища, так і тіла. Зокрема, уже не можна затверджувати в загальному випадку, що прискорення тіла, що рухається, є функцією лише від його координат і швидкості в цей момент часу, тобто не існує рівнянь руху в тому розумінні, який вони мають у механіку. Таким чином, завдання про рух тіла в середовищі вже не є завданням механіки.

Існує, однак, певна категорія явищ, коли рух у середовищі може бути приблизно описане за допомогою механічних рівнянь руху шляхом введення в них деяких додаткових членів. Сюди ставляться коливання із частотами, малими в порівнянні із частотами, характерними для внутрішніх дисипативних процесів у середовищі. При виконанні цієї умови можна вважати, що на тіло діє сила тертя, що залежить (для заданого однорідного середовища) тільки від його швидкості.

Якщо до того ж ця швидкість досить мала, то можна розкласти силу тертя по її ступенях. Нульовий член розкладання дорівнює нулю, оскільки на нерухливе тіло не діє ніякої сили тертя, і перший незникаючий член пропорційний швидкості. Таким чином, узагальнену силу тертя fтр, що діє на систему, що робить одномірні малі коливання з узагальненою координатою х, можна написати у вигляді

де а — позитивний коефіцієнт, а знак мінус показує, що сила діє убік, протилежну швидкості. Додаючи цю силу в праву сторону рівняння руху, одержимо :

(4.1)

Розділимо його на m і введемо позначення

(4.2)

ω₀ є частота вільних коливань системи під час відсутності тертя. Величина λ називається коефіцієнтом загасання. Таким чином, маємо рівняння

(4.3)

Дотримуючись загальних правил рішення лінійних рівнянь із постійними коефіцієнтами, думаємо х — e^rt і знаходимо характеристичне рівняння

Загальне рішення рівняння (4.3) є

Тут варто розрізняти два випадки.

Якщо λ < ω0, то ми маємо два комплексно сполучених значення r. Загальне рішення рівняння рухи може бути представлене в цьому випадку, як

де А — довільна комплексна постійна. Інакше можна написати:

(4.4)

де а й α — речовинні постійні. Рух, що виражається цими формулами, являє собою так звані загасаючі коливання. Його можна розглядати як гармонійні коливання з експоненціальне убутною амплітудою. Швидкість убування амплітуди визначається показником ?, а частота ? коливань менше частоти вільних коливань під час відсутності тертя; при ?<<?0 різниця між ? і ?0- другого порядку малості. Зменшення частоти при терті випливало очікувати заздалегідь, оскільки тертя взагалі затримує рух.

Якщо λ<<ω0 , то за час одного періоду 2π/ω амплітуда загасаючого коливання майже не міняється. У цьому випадку має сенс розглядати середні (за період) значення квадратів координати й швидкості, зневажаючи при усередненні зміною множника е-е^-λt . Ці середні квадрати, мабуть, пропорційні е^-2λt . Тому й енергія системи в середньому убуває за законом

(4.5)

де Е0 — початкове значення енергії.