Курсовая работа: Опис та типологія коливань
(4.6)
Ми бачимо, що в цьому випадку, що виникає при досить великому терті, рух складається в убуванні |x|, тобто в асимптотичному (при t → ∞) наближенні до положення рівноваги. Цей тип руху називають аперіодичним загасанням.
Нарешті, в особливому випадку, коли λ = ω0 , характеристичне рівняння має всього один (подвійний) корінь r = ― λ . Як відомо, загальне рішення диференціального рівняння має в цьому випадку вид
(4.7)
Це - особливий випадок аперіодичного загасання, Воно теж не має коливального характеру.
Для системи з багатьма ступенями волі узагальнені сили тертя, що відповідають координатам xi, є лінійними функціями швидкостей виду
(4.8)
Із чисто механічних міркувань не можна зробити ніяких висновків про властивості симетрії коефіцієнтів аik по індексах i і k. Методами ж статистичної фізики можна показати, що завжди
aik = aki . (4.9)
Тому вираження (4.8) можуть бути написані у вигляді похідних
(4.10)
від квадратичної форми
(4.11)
називаної дисипативною функцією.
Сили (4.10) повинні бути додані до правої сторони рівнянь Лагранжа
(4.12)
Дисипативна функція має сама по собі важливий фізичний зміст - нею визначається інтенсивність дисипації енергії в системі. У цьому легко переконатися, обчисливши похідну за часом від механічної енергії системи. Маємо:
Оскільки F— квадратична функція швидкостей, то в силу теореми Ейлера про однорідні функції сума в правій стороні рівності дорівнює 2F. Таким чином,
(4.13)
т е. швидкість зміни енергії системи дається подвоєної дисипативної функцією. Тому що дисипативні процеси приводять до зменшення енергії, то повинне бути завжди F > 0, тобто квадратична форма (4.11) істотно позитивна.
Рівняння малих коливань при наявності тертя виходять додаванням сил (4.8) у праву сторону рівнянь (3.5):
(4.14)
Поклавши в цих рівняннях
xk = Ak ert ,
одержимо по скороченні на ert систему лінійних алгебраїчних рівнянь для постійних Ak
(4.15)
Дорівнявши нулю визначник цієї системи, знайдемо характеристичне рівняння, що визначає значення r:
(4.16)