Курсовая работа: Применение производной при нахождении предела

Действительно, производная, интеграл, непрерывность функции - все эти понятия используют предел.

Курсовая работа состоит из четырех разделов.

В первом разделе раскрывается понятие скорости роста функции, вводятся символы "О большое" и "о малое", и важное понятие, для вычисления пределов, эквивалентные функции.

Во втором разделе приведены основные теоремы дифференциального исчисления, служащие необходимой основой для правила Лопиталя и формулы Тейлора.

В третьем разделе приведено правило Лопиталя и методы раскрытия всех типов неопределенностей. Примеры для этого и последующего раздела были взяты из [Марон].

В четвертом разделе приведен вывод формулы Тейлора и показано применение формулы Тейлора для нахождения эквивалентных функций и вычисления пределов.

1. Бесконечно малые и их сравнения; символы " o малое" и "о большое"

Определение. Бесконечно малой в x₀ называется функция f (x) такая, что

Свойства бесконечно малых функций:

1) Критерий существования конечного предела функции

Û $ б. м. функция a ( x) при x ® x₀ : f ( x) = A+ a ( x)

2) a ( x), b ( x) б. м. Þ a ( x) + b ( x) б. м.

3) Произведение бесконечно малой функции на ограниченную является бесконечно малой функцией.

4) Произведение бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.

Определение. f (x) определенная в проколотой окрестности x₀ называется бесконечно большой в т. x₀ , если .

5) Если a ( x) б. м. при x ® x₀ и a ( x) ¹0, то 1/ a ( x) является бесконечно большой и наоборот. Символически это записывают в виде 1/ ¥=0, 1/0= ¥.

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций. Символы O, o

f,g определенны в некоторой проколотой окрестности x₀

Пишут

,

Если

.

Аналогично определяется O при x ® x₀ +0, x ® x_{0 -} 0, x ® ± ¥ , x ® ¥.

Пример: f ( x) = O (1), x ® ¥ означает локальную ограниченность функции в ¥.

Опр. Если при x ® x₀ , f ( x) = O ( g) и g ( x) = O ( f), то f ( x), g ( x) называются функциями одного порядка.

Пример: Функции x³ , x² являются функциями одного порядкапри x ®1.

Определение o . Пусть f ( x), g ( x) определенны в некоторой проколотой окрестности точки x₀ , пишут f ( x) = o ( g ( x)), x ® x₀ , если

$ $ б. м. a ( x) при x ® x_0, такая, что " x Î : f ( x) = a ( x) g ( x)

Аналогично определяется o при x ® x₀ +0, x ® x_{0 -} 0, x ® ± ¥ ,x ® ¥.

Пример: f ( x) = o (1), при x ® x₀ означает, что f ( x) бесконечно малая при x ® x₀ .