Курсовая работа: Применение производной при нахождении предела
o ( xn ) ± o ( xn ) = o ( xn )
xm o ( xn ) = o ( xn + m )
c o ( xn ) = o ( xn ) ( c-константа)
o ( xn ) ± o ( xn + p ) = o ( xn ), здесь p натуральное.
o ( xn + p ) / xp = o ( xn ) В частности,o ( xp ) / xp = o (1).
o (an xn ± an+1 xn+1 ± … ± an+p xn+p ) = o (xn )
Если a, b б. м. и b= o ( a), то говорят, что b бесконечно малая более высокого порядка, чем a .
Определение. Функции f ( x), g ( x) называются эквивалентными в x0 (говорят так же, в окрестности x0 ), если выполнено хотя бы одно из двух условий
f (x) =g (x) +o (g (x)), x ® x0
g (x) =f (x) +o (f (x)), x ® x0.
Условие эквивалентности записывается в виде f ~ g, при x ® x0.
Замечание 1 . Если выполнено одно из этих условий, то будет выполнено и второе.
Замечание 2 . Эти условия можно записать в другой форме. Например, первое из них: в некоторой проколотой окрестности точки имеет место равенство
f ( x) = h ( x) g ( x), 
=1 .
Замечание 3 . Если, например, g ( x) ¹0 , то первое условие можно записать в виде
.
Определение. Если f ( x) ~ ( x- x0 ) n при x ® x0 , то f (x) называется бесконечно малой порядка n при x ® x0 .
Если f ( x) ~
при x ® x0 , то f (x) называется бесконечно большой порядка n при x ® x0 .
Если f ( x) бесконечно большая при x ® ¥и f ( x) эквивалентна xn при x ® ¥, то f (x) называется бесконечно большой порядка n при x ® ¥.
Замечание. Если f ( x) бесконечно малая порядка n, то 1/ f ( x) будет бесконечно большой порядка n и наоборот.
Примеры. Определить характер функций
,
в 0, 1,+ ¥.
При вычислении пределов полезна следующая теорема
Теорема 2. Пусть fэквивалентна f1 , g эквивалентна g1 при x ® x0 .
Если существует предел 
, тогда существует и 
.
Если существует предел 
, тогда существует и 
.
Определение. Если 
, то g называется главной частью f при x ® x0 .
2. Основные теоремы дифференциального исчисления
2.1 Теорема Ферма о нуле производной
Теорема. Если f (x) - определена на (a,b) и дифференцируема в точке x0 Î (a,b), принимает в точке x0 наибольшее или наименьшее значение, то f ¢ (x0 ) =0.
Доказательство . Для случая наименьшего значения