Курсовая работа: Применение производной при нахождении предела
.
Свойства многочлена Тейлора
(1)
Из (1) следует
=
(2)
Из (1) следует
Pn (x0 ) =f (x0 ), 
(3)
В частности,
, k=0,1,…,n.
Обозначим Rn (x) =f (x) - Pn (x), тогда
(4)
(4) - формула Тейлора функции f в окрестности точки x0 с остаточным членом Rn . Основная задача будет состоять в представлении остатка в удобной для оценок формах.
4.2 Остаток в форме Пеано
Теорема 1 . Если функция f (x) (n-1) - раз дифференцируема в окрестности U= (x0 -a,x0 +a) точки x0 и существует f (n) ( x0 ), то имеет место равенство
.
Другими словами
(5)
Доказательство. Для краткости будем обозначать R (x) =Rn (x)
(10 )
(11 )
(1m )
…
(1n-1 )
f (n-1) ( x) дифференцируема в точке x0 , поэтому
Откуда
По правилу Лопиталя
Теорема 2. (Единственность представления функции по формуле Тейлора) Если f имеет n-ю производную в точке x0 и