Курсовая работа: Применение производной при нахождении предела
1) 
2) f,g дифференцируемы на (x0 ,b)
3) g ¢ (x) ¹0 на (x0 ,b)
Тогда
,
если последний существует конечный или бесконечный.
Замечание . Аналогичные утверждения имеют место для x ® x0 - 0, x ® x0 , x ® + ¥, x ® - ¥.
3.3 Использование правила Лопиталя для выделения главных частей и определения порядков бесконечно больших
В некоторых случаях порядок бесконечно малой или бесконечно большой можно определить, последовательно вычисляя производные. Предположим, что f (x) - бесконечно малая при x ® x0 и в точке x0 обращаются в ноль все производные до (n-1) - го порядка включительно f (x0 ) =0, f ¢ (x0 ) =0,…, f (n-1) ( x0 ) =0 и f (n) ( x0 ) ¹0. В этом случае порядок этой бесконечно малой будет равен n. При этом главная часть будет равна
.
Это утверждение следует из равенства
,
в котором в качестве функции g (x) берется (x-x0 ) n .
.
Похожее утверждение можно сформулировать и для бесконечно больших функции.
Пример: f (x) = 3sh x - 3sin x - x3 при x ® 0
f ¢ (x) =
=0,f ¢¢ (x) =
=0,f ¢¢¢ (x) =
=0,f (4) ( x) =
=0,f (5) ( x) =
=0,f (6) ( x) =
=0,f (7) ( x) =
=6 ¹ 0.
Таким образом, порядок этой бесконечно малой равен 7 и f (x) ~
x7 , x ®0.
3.4 Раскрытие неопределенностей вида 0 ¥, 1¥, 00 ,¥0 ,¥ - ¥
Неопределенности вида 0 ¥ сводятся к уже рассмотренным.
Примеры.
1) 
2) 
3) 
4) ¥ - ¥
Можно, например, так
5) Неопределенности вида 1 ¥ ,00 , ¥0 сводятся к уже рассмотренным логарифмированием
y=uv =ev ln u
Пример 1.