Курсовая работа: Применение производной при нахождении предела

. Для решения задачи возьмем разложения функции

e^2x = 1+2x+++++o (x⁵ ),

= (1+2x+++++o (x⁵ )) ( ) =

1+2x+x² +x³ +x⁴ +x⁵ +o (x⁵ ) =

1+2 x+ x² x³ x⁴ x⁵ + o ( x⁵ ).

Пример 4. Разложить функцию f (x) =1/cos x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁵ включительно. Представим функцию в виде

=1+u+u² +u³ +o (u³ ), где u = .

Тогда

=1+u+u² +u³ +o (u³ ) =1+ +++.

При вычислении степеней

нас интересуют только слагаемые степеней не выше x⁵ , более высокие степени войдут в o (x⁵ ). Таким образом,

=,=, =.

Выражение

=

показывает, что в разложении

=1+u+u² +u³ +o (u³ )

можно, с самого начала, ограничится второй степенью

=1+u+u² +o (x⁵ ).

Подставляя нужные выражения в это равенство получим

=1+ ++=1+ ++.

Пример 5. Используя разложение из предыдущего примера, разложить функцию f (x) =tg x по формуле Тейлора с остатком Пиано по степеням x до x⁶ включительно.

tg x==

=

x+x² (0) +x³ +x⁴ (0) +x⁵ +x⁶ (0) =

=

Пример 6. Разложить функцию f (x) = (1+x) ^a - (1 - x) ^a по формуле Тейлора с остатком Пиано.