Курсовая работа: Распределение Пуассона Аксиомы простейшего потока событий

Иными словами, дисперсия эффективной оценки параметра в некотором классе является минимальной среди дисперсий всех оценок из рассматриваемого класса несмещенных оценок.

Замечание 1.3.1.1. Эффективную оценку в классе всех несме­щенных оценок будем называть эффективной оценкой, не добавляя слов „в классе несмещенных оценок".

Замечание 1.3.1.2. В литературе по математической ста­тистике при рассмотрении параметрических моделей вместо термина «эффективная оценка» классе всех несмещенных оце­нок используют и другие: «несмещенная оценка с минимальной дисперсией», «оптимальная оценка». Теорема 1.3.1. Оценка

(выборочное среднее) математического ожидания

генеральной совокупности Xс конечной дисперсией является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех ли­нейных оценок, т.е. оценок вида

где , для произвольнойпараметрической модели.

Напомним, что элементы случайной выборки

являются независимыми случайными величинами и распре­деленными так же, как и сама генеральная совокупность X. Следовательно,

1.4 Критерии согласия

Пусть (X1,..,Xn) - выборка с неизвестным законом распределения F(X). Рассмотрим гипотезы Н0: F(x)=F0(x) при конкурирующей Н1: F(x)¹F0(x). F0(x)- некоторая заданная функция распределения.

Задача проверки гипотез относительно законов распределения называется задачей проверки согласия, а критерий для этой задачи - –ритерием согласия.

Рассмотрим критерий согласия c2, или критерий Пирсона.

Разобьем ось х на т интервалов Если истинная функция распределения F(x) совпадает с F0(x), то при больших n

Рассмотрим случайную величину (ni - –лучайное)

при она стремится к c2 - –аспределению случайной величины с т-е-1 степенями свободы (е- число статистических параметров).

Решающее правило для уровня значимости a:

При построении c2n должно выполняться условие ni³10, в противном случае объединяют интервалы.

В случае применения гипотезы Н0 говорят, что различие между F(x) и F0(x) является случайным с доверительной вероятностью 1-a и обусловлено конечностью выборки.

1.5 Теорема Чебышева

Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание МХ и дисперсию DX, справедливо неравенство

где a — любое положительное число.

Доказательство. Доказательство проведём сначала для непрерывной случайной величины Х с плотностью распределения f(x).

Обозначим через А событие, состоящее в том, что случайная точка Х попадает за пределы участка (MX-a; MX+a), то есть