Курсовая работа: Распределение Пуассона Аксиомы простейшего потока событий

aa

MX -a MX MX+a

Вероятность попадания Х в этот участок равна

Найдём дисперсию случайной величины Х

Совершенно аналогично доказывается неравенство Чебышева и для дискретной случайной величины, имеющей значения x1, x2, ... с вероятностями p1, p2, ... Тогда вместо интеграла во всех формулах ставится знак суммы, где суммирование ведётся по тем xi , для которых

|xi-MX|³a,

что и требовалось доказать.

Определение. Пусть имеется последовательность чисел

x1, x2, ... , xn , ...

Говорят, что эта последовательность сходится по вероятности к неслучайной величине а, если при неограниченном увеличении п вероятность события

{|Хп-а|< e},

(где e>0 - произвольное малое фиксированное число) стремится к единице, то есть

Иными словами, каковы бы ни были произвольно малые наперёд заданные числа e>0 и d>0 всегда существует N, такое, что при n>N

P{|Xn-a|<e}>1-d

Первая теорема Чебышева (Закон больших чисел). Пусть имеется случайная величина Х с медианой МХ и дисперсией DX. Над этой случайной величиной Х производится п независимых опытов, в результате которых она принимает значения Х1, Х2, ... , Хп (п “экземпляров” случайной величины Х). Пусть

Тогда последовательность сходится по вероятности к MX:

Доказательство. Найдём MYn и DYn :

Применим к случайной величине Yn неравенство Чебышева, в котором положим a равным e, где e>0 — сколь угодно малое, наперёд заданное число.

Как бы ни было мало e, всегда можно выбрать n таким большим, чтобы правая часть последнего неравенства стала меньше сколь угодно малого положительного числа d; следовательно, при достаточно большом п

P{|Yn-MX|³e}<d

ÞP{|Yn-MX|<e}>1-d,