Курсовая работа: Распределение Пуассона Аксиомы простейшего потока событий

Замечание 1.5.1. Первую теорему Чебышева можно записать и иначе, если положить Zn:=Yn-MX

Замечание 1.5.2. Первая теорема Чебышева относится к случаю, когда случайные величины Х1, Х2, ... , Хп независимы и имеют одно и то же распределение, а значит одно и то же MX и DX.

Рассмотрим случай, когда условия производимых опытов меняются.

Вторая теорема Чебышева. Пусть имеется случайная величина Х. Над ней производятся независимые опыты, в результате чего мы получаем последовательность

Х1, Х2, ..., Хn, ...

с различными, в общем случае, MХi и DXi (i=). Пусть

Если DXi£D i=1, 2, ... , где D - некоторое положительное число, то

Доказательство.

(1.5.1)

Согласно неравенства Чебышева

или, учитывая (1.5.1), имеем

Как бы ни было мало произвольное наперёд заданное e, всегда можно выбрать n таким большим, чтобы правая часть последнего неравенства стала меньше произвольно малого d. Следовательно

,

что и требовалось доказать.

Замечание 1.5.3. При формулировке второй теоремы Чебышева нельзя говорить, что

так как зависят от n, а понятие “сходимость по вероятности” определено нами только для постоянной а, не зависящей от n.

1.6 Понятие доверительного интервала

Будем считать, что независимая выборка взята из распределения, зависящего от скалярного параметра . Будем обозначать через распределение вероятностей, соответствующее значению неизвестного параметра.

Определение 1.6.1

-доверительным инт ервалом называется интервал вида где такой, что

Число называют доверительной вероятностью .