Курсовая работа: Рішення лінійних рівнянь першого порядку

(5)

Функція (5) є рішенням системи (1), якщо - власне значення матриці А, а а - власний вектор цієї матриці, що відповідає числу .

Якщо власні значення ₁ , ₂ , …,_n матриці А попарно різні й a₁ , a₂ , …, a_n відповідні власні вектори цієї матриці, то загальне рішення системи рівнянь (1) визначається формулою:

де З₁ , З₂ , …, С_n - довільні числа.

Для випадку кратних корінь рішення системи приймає вид

(6)

де Pi (x) - поліноми ступеня не вище, ніж (до-1), що мають у сукупності до довільних коефіцієнтів. Так що серед коефіцієнтів цих поліномів до коефіцієнтів є довільними, а залишилися до·n-k выражаются через них. Якщо для кратного власного значення матриці А є стільки лінійно незалежних власних векторів , яка його кратність, то йому відповідає k незалежних рішень вихідної системи:

Якщо для власного значення кратності k є тільки m (m<k) лінійно незалежних власних векторів, то рішення, що відповідають , можна шукати у вигляді добутку векторного багаточлена ступеня k - m на , тобто у вигляді:

Щоб знайти вектори , треба підставити вираження (4) у систему (3). Дорівнявши коефіцієнти подібних членів у лівій і правій частинах системи, одержимо рівняння для знаходження векторів .

Для даного завдання минулого знайдені наступні власні значення:

.

Побудували фундаментальну систему рішень:

Знайдемо 1 рядок фундаментальної матриці рішень для характеристичного числа . Запишемо третій рядок рішень у загальному виді:

Де аij знайдемо по вираженню:

або

Отримана матриця:

Вирішуємо систему:

Отриманих корінь:

Тоді перший рядок буде мати вигляд: