Тоді їхня сума буде шуканим загальним рішенням неоднорідної системи:

Перевіримо

Знайдене рішення вірно.

Графіки

Зобразимо графічно точне приватне рішення однорідної лінійної системи диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами для початкових умов: t₀ = 0, y₀ = [1, 2, 3, 4].

Зрівняємо графік однієї функції вектора точного рішення й однієї функції вектора наближеного рішення з 3-мя, 5-ю й 7-ю членами ряду:

Де 1 - графік наближеного рішення для трьох членів ряду; 2 - графік наближеного рішення для шести членів ряду; 3 - графік наближеного рішення для дев'яти членів ряду; 4 - графік точного рішення.

Можна зробити висновок:

Зі збільшенням числа членів ряду, число збігу членів ряду з точним рішенням буде збільшуватися, область збігу буде рости.

Висновок

У ході проробленої роботи було вивчено 3 методи знаходження загального рішення однорідної системи лінійних диференціальних рівнянь: метод Ейлера, рішення у вигляді матричного ряду й матричний метод. У порівнянні з методом Ейлера й матричним методом, метод розкладання в матричний ряд простий у реалізації, але дає наближене рішення. Також була вивчена задача Коші, що була використана для знаходження приватного рішення однорідної системи лінійних диференціальних рівнянь для даного виду початкових умов.

Для встановлення правильності проведених обчислень була проведена перевірка за допомогою підстановки отриманих рішень у вихідну систему рівнянь.

Для реалізації цієї роботи в DERIVE були використані наступні функції пакета:

1. EIGENVALUES (A, ) - обчислення власних чисел матриці A з наступним записом у вектор .

2. SOLVE (Pm=0, ) - рішення рівняння Pm=0, де Pm - поліном ступеня m: Pm=p0*^m p1*^m-1 +…+pm-1*+pm, а - змінна, щодо якої вирішується дане рівняння.

3. EXACT_VECTOR (A, ) - обчислення точного власного вектора матриці А и розміщення цих значень в.

4. DIF (A,x,n) - диференціювання A по x n раз.

5. SUM (M,n,f,g) - обчислення суми M по n змінюється з f до g.

6. VECTOR (u,k,n) - завдання (обчислення) вектора значень при k змінюється від 1 до n.

А також функції меню:

1. SOLVE/SYSTEM - рішення системи з наступним завданням у діалоговому вікні кількості рівнянь, самих рівнянь і змінних, щодо яких вирішується дане рівняння.

2. Simplify > Expand - розкриття виражень.

Команда Expand використовується для розкриття математичних виражень.

Expand expression: #n: де n - номер рядка вираження (операнда).

Expand Variable: #n.

У цьому варіанті команди необхідно вказати ім'я змінної, по якій буде проведене перетворення. Якщо по всім - <Enter>.

3. Для побудови графіків використовували функцію 2D-plot.

Література