Курсовая работа: Сравнительный анализ численных методов

Следовательно, можно сделать вывод о том, что численный метод интегрирования по формуле Симсон является более точным, но используется в общем случае при делении рассориваемого отрезка на чётное число промежутков.

Раздел 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Инженеру часто приходится иметь дело с техническими системами и технологическими процессами, характеристики которых непрерывным образом меняются во времени. Соответствующие явления как правило подчиняются физическим законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений. Одной из основных математических задач, которые приходится решать для таких уравнений, является задача Коши (начальная задача). Чаще всего к ней приходят тогда, когда известно начальное состояние физической величины системы в некоторый момент времени t0 (x0,y0) и требуется предсказать её поведение в момент времени t>t0 ( x>x0). В курсе математического обеспечения САПР, мы рассматривали методы решения задачи Коши с помощью решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка .

Напомним, что решением обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка является функция y , которая при подстановке в уравнение , превращает его в тождество.

Обыкновенными дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, которые содержат одну или несколько производных от искомой функции y=y(x). Их можно записать в виде

,

где х – независимая переменная.

Наивысший порядок n входящей в уравнение производной называется порядком дифференциального уравнения.

Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разбить на следующие группы: графические, аналитические, приближенные и численные.

Графические методы используют геометрические построения.

Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.

Приближенные методы используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов, а также специальным выбором классов искомых функций.

Численные методы решения дифференциальных уравнений в настоящее время являются основным инструментом при исследовании научно-технических задач , описываемых дифференциальными уравнениями. При этом необходимо подчеркнуть , что данные методы особенно эффективны в сочетании с использованием современных компьютеров.

5.1 Метод Эйлера

Простейшим численным методом решения задачи Коши для ОДУ является метод Эйлера. Рассмотрим уравнение в окрестностях узлов