Курсовая работа: Уравнение и функция Бесселя
,
;
,
.
Таким образом, ,
,
должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:
,
(3)
,
,
из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.
Обратно, если ,
,
удовлетворяют уравнениям (3), то
есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя
в левую часть (2) и деля затем на
, получим:
.
Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где
,
,
– любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел
,
.
Первое из уравнений (3) в случае ,
называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае
, обозначая независимую переменную буквой
(вместо
), а неизвестную функцию – буквой
(вместо
), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:
. (4)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.
Бесселевы функции первого рода
Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда:
.
Тогда
,
,
,
.
Следовательно, приходим к требованию
или к бесконечной системе уравнений
,
которая распадается на две системы:
Первая из них удовлетворится, если взять … Во второй системе
можно взять произвольно; тогда
… однозначно определяются (если
не является целым отрицательным числом). Взяв
,