Курсовая работа: Уравнение и функция Бесселя

,

,

,

и в качестве решения уравнения (4) получим ряд:

Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений и, следовательно, является решением уравнения (4) в области (в случае целого в области ).

Функция

(5)

называется бесселевой функцией первого рода с индексом . Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса получим:

, (5`)

и, в частности,

. (5``)

Общее решение уравнения Бесселя

В случае нецелого индекса функции и являются решениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени . Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя есть:

. (6)

Если (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что равно нулю для …), принимает вид:

(5```)

или, после замены индекса суммирования на ,

, (7)

откуда видно, что удовлетворяет вместе с уравнению Бесселя

.

Но формула (6) в случае целого уже не дает общего решения уравнения (4).

Полагая

( – не целое) (8)

и дополняя это определение для (целое число) формулой:

, (8`)

получим функцию , удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от (в случае , где – целое). Функция называется бесселевой функцией второго рода с индексом . Общее решение уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде:

. (9)

2. Формулы приведения для бесселевых функций

Имеем:

; ;