Курсовая работа: Уравнение и функция Бесселя

Но , значит:

. (14)

Далее

,

,

следовательно,

.

Но , поэтому

. (15)

С помощью (10`) находим:

,

а учитывая (14)

,

следовательно, при целом положительном

. (14`)

С помощью (11`) находим:

,

но в силу (15)

,

и, следовательно, при целом положительном

. (15`)

4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом

Производящая функция системы функций

Рассмотрим систему функций (с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:

Составим ряд

,

где – комплексная переменная. Предположим, что при каждом (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность . В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ∞.

Функция

(16)

(где x лежит в области определения функций системы , – внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению ) называется производящей функцией системы .