Курсовая работа: Уравнение и функция Бесселя
,
, (20)
где и
– непрерывные функции на
. Пусть
и
– ненулевые решения этих уравнений. Умножение на
и на
и последующее вычитание дают
.
Пусть и
принадлежат
и
, тогда после интегрирования в пределах от
до
получим
. (21)
Если и
– соседние нули решения
, то между
и
сохраняет постоянный знак, пусть, например,
на (
,
) (в противном случае следует заменить
на
), тогда
,
(равенство нулю исключено, так как
– ненулевое решение дифференциального уравнения второго порядка). Если на
, то
должна, по крайней мере, раз обращаться в нуль между
и
, так как иначе
сохранит постоянный знак на (
,
). Пусть, например,
на (
,
) (в противном случае заменяем
на
), и тогда из (21) получим противоречие, ибо левая часть ≤0, а правая >0. Таким образом доказана теорема сравнения Штурма: если P(x)<Q(x) на рассматриваемом интервале I и если y и z – ненулевые решения уравнений (20), то между каждыми двумя соседними нулями y(x) находится по крайней мере один нуль z(x).
Из теоремы сравнения Штурма вытекают нижеследующие следствия. Если на
, то каждое ненулевое решение уравнения
может иметь на
не более одного нуля (это легко видеть, если положить
и взять
). Если
на
(где
), то для всяких двух соседних нулей
и
(
) каждого ненулевого решения уравнения
имеем
(это легко видеть, если положить
, взять
и заметить, что нулями
будут только числа вида
,
целое). Если
на
(где
), то для всяких двух соседних нулей каждого ненулевого решения уравнения
имеем
(это легко видеть, если положить
и взять
). Из сказанного следует, что если
на
, то для всяких двух соседних нулей
и
(
) каждого ненулевого решения уравнения
имеем
.
Изложенное показывает, что если непрерывна на
и превышает некоторое положительное число вблизи +∞, то каждое ненулевое решение
уравнения
имеет на
бесконечно много нулей. Если еще
вблизи
не обращается в нуль, то эти нули образуют бесконечную возрастающую последовательность
, имеющую пределом +∞, а если, кроме того,
, где
, то
.
Рассмотрим уравнение Бесселя
на интервале . Подстановка
приводит к уравнению
.
Очевидно, и
имеют одни и те же нули. Так как
, где
– целая функция, то
не имеет нулей на
при достаточно малом
, и так как
при
, то при каждом
нули
на
образуют бесконечную возрастающую последовательность
причем .
Если , то
удовлетворит уравнению
на интервале (0, +∞). Подстановка приводит к уравнению
и, следовательно, удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, при любых положительных
и
имеем
, где
,
, где
,
откуда
,
следовательно,
, где
. (22)
Пусть теперь . Разложение
по степеням
начинается с члена, содержащего
, разложение
по степеням
начинается с члена, содержащего
, так как коэффициент при
равен нулю, что легко видеть, исходя из формулы (5). Следовательно, из (22) при
получим
,
то есть